常用排列组合公式

1. 排列公式

个相异物件取 （）个的不同排列总数，为

特别地，若 ，得

人们常约定把 作为 。当 不是非负整数时，记号 没有意义。

2. 组合公式

个相异物件取 个（）个的不同组合总数，为

当 时，按 的约定，算出 ，这可看作一个约定。

只要 为非负整数， 不论为任何实数，都有意义。故 可不必限制为自然数。例如：

3. 组合系数与二项式展开的关系

组合系数 又常称为二项式系数，因为它出现在下面熟知的二项式展开的公式中：

利用这个关系式，可得出许多有用的组合公式。例如，令 ，得

令 ，则得：

另一个有用的公式是

它是由恒等式 即

比较两边的 项的系数得到的。

其实，这条公式从直观上理解要更容易，即有两堆物品，第一堆有 件，第二堆有 件，要从这两堆物品中取出 件，有多少种取法？显然，我们可以先在第一堆取 件（），然后在第二堆取 件，则取法有 种，把 的所有取值结果相加，即得上面的公式。

4. 物品分堆

个相异物件分成 堆，各堆物件数分别为 的分法是

此处， 都是非负整数，其和为 。注意：这里要计较堆的次序，例如，若有 5 个物体 分成 堆，则 和 应算作两种不同的分法。如果不考虑次序，还需要再除以 。

此式常称为多项式系数，因为它是 的展开式中 这一项的系数。