在南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除算法》有一道题“直田积八百六十四,只云阔不及长一十二步，问长与阔各几步？
在答题之前先介绍一下杨辉。
杨辉共撰5部数学著作，分别是《详解九章算术算法》、《日用算法》、《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法》。传世的有4部，居元以前数学家之冠。
金元四大数学家——秦九韶、李治、杨辉和朱世杰都对算法有不同程度的研究，其中最有代表性的是杨辉。杨辉于1274年至1275年先后完成了《续古摘奇算法》、《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》三本书。由于这三本书影响巨大，后人便统称之为《杨辉算法》。
《杨辉算法》以其杰出成就，在数学史上奠定了不可动摇的地位。因为这部书，后世的不少数学家把杨辉称为“中国数学的鼻祖”。
第一，《杨辉算法》极大地丰富了我国古代数学宝库，为我国数学科学的发展做出了卓越贡献。
第二，《杨辉算法》在很大程度上加快了运算工具改革的步伐。随着《乘除通变本末》中“筹算歌诀”的推广，人们的运算速度大大加快，后来人们发觉摆弄算筹居然比不上口诀。在这种背景下，算盘应运而生；元朝末年，算盘终于“飞”到寻常百姓家。
第三，《杨辉算法》为后世学者了解宋末元初的社会面貌提供了重要的资料。这部书所反映的南宋社会经济现象，内容丰富，其中包括山田的几何形状与计算方法、民间借贷关系等等。这些，对社会学家们研究宋末历史提供了足够的依据。
杨辉介绍完了先上一道开胃菜，然后再说经典例题。
话说张木匠有一块长方形的木板，正中刻有一条鱼的图案。他打算把木板锯成几块，拼接为正方形的桌面，正中镶嵌一条鱼的图案。请问他是怎么做到的？
这是著名作家刘后一的题目，答案大家想出来了吗？一图胜千言，请看解答图。
好，现在我们说说杨辉的例题。先审题，题目意思就是长方形面积为864平方步，长减宽等于12步，求长方形的长和宽多少步？这题目不难，但我们做题估计多半会列方程组简单粗暴就求出答案了。但杨辉的解法很巧妙，值得一看。
杨辉像上图一样，把四个长方形和一个正方形拼成了一个大正方形。请看下图：
设长方形的长为b，宽为a，显然中央的小正方形边长为a-b=12。杨辉用此图求a+b的值。四个全等的长方形面积为864×4=3200+240+16=3456，小正方形面积为12×12=144，合计3456+144=3600。用求面积的方法可得a+b=3600的平方根=60。现在明白了吧，杨辉巧妙地把这个问题转化为小学的和差问题：已知a+b=60,a-b=12,求a和b的值？
再看看解法示意图，和差问题的解法就藏在图中。看图可以直观地看出（a+b)-(a-b)=2a，所以a=（a+b)-(a-b)/2=(60-12)/2=24;同样可以看出（a+b)+(a-b)=2b，所以b=[（a+b)+(a-b)]/2=(60+12)/2=36
杨辉用几何解法巧妙解题，过程小学生都能够看懂。背后的代数原理是这样的：
（a－b）²＋4ab=a²-2ab+b²+4ab=a²+2ab+b²=（a+b)²
这题目多数人会用方程组来解答。解法步骤由微软数学提供：
输入 solve(｛ab=864,a-b=12｝)
使用替换法和二次公式的求解步骤
要使用替换法求解方程组，请先求解一个方程中的某个变量。然后用求出的结果替换其他方程中的变量。
｛a+（-1）b=12，ab=864｝
求解a的a+（-1）b=12，方法是让a单独位于等号左侧。
a+（-1）b=12
在方程的两边各减去（-1）b。
a=b+12
在其他方程ab=864中用b+12替换a。
（b+12）b=864
要使用二次公式求解此方程，请先将方程化简为标准形式：
再次感谢微软数学4.0（X86版）的精彩解答。
附录：杨辉的百度百科
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。
他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。
他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分，勾股等九类。
他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。
数学贡献
(一)主要著述
杨辉一生留下了大量的著述，它们是：《详解九章算法》12卷(1261年)，《日用算法》2卷(1262年)，《乘除通变本末》3卷(1274年，第3卷与他人合编)，《田亩比类乘除捷法》2卷(1275年)，《续古摘奇算法》2卷(1275年，与他人合编)，其中后三种为杨辉后期所著，一般称之为《杨辉算法》。
《详解九章算法》现传本已非全帙，编排也有错乱。从其序言可知，该书乃取魏刘微注、唐李淳风等注释、北宋贾宪细草的《九章算术》中的80问进行详解。在《九章算术》9卷的基础上，又增加了3卷，一卷是图，一卷是讲乘除算法的，居九章之前；一卷是纂类，居书末今卷首图、卷l乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰诸题、卷6商功的诸同功问题已佚。卷4衰分下半卷、卷5少广存《永乐大典》残卷中，其余存《宜稼堂丛书》中。从残本的体例看，该书对《九章算术》的详解可分为：一、解题。内容为解释名词术语、题目含义、文字校勘以及对题目的评论等方面。二、明法、草。在编排上，杨辉采用大字将贾宪的法、草与自己的详解明确区分出来。三、比类。选取与《九章算术》中题目算法相同或类似的问题作对照分析。四、续释注。在前人基础上，对《九章算术》中的80问进一步作注释。杨辉的“纂类”，突破《九章算术》的分类格局，按照解法的性质，重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。
杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。
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