“逻辑”与“事实”的对立统一，一次又一次地开启了数学新纪元

众所周知，在这个世界上，合乎“逻辑”的并不一定合乎“事实”，而合乎“事实”的有时也很难从“逻辑”上讲通。在人类科技的发展史上，这种情况曾多次出现，每一次的解决过程都历经波折，但当问题完美解决之后，也大大地推动了人类科技的发展。比如“非欧几何”的诞生，就是完全从“纯逻辑演绎”开始的，由于所得出的结论与“常识”相悖，与“事实”不符，以至于遭到了整个学界的嘲讽。但是“非欧几何”走到今天，却成了“现代数学大厦”的一个重要分支。在人类数学的发展史上，正是由于“逻辑”与“事实”的对立统一不断演化，才一次又一次地开启了数学新纪元。这到底是怎么回事呢？还得从遥远的“芝诺悖论”说起。

阿基里斯是古希腊神话里最擅长奔跑的大神，有一天这位大神闲来无事，决定和乌龟来一场短跑比赛。由于阿基里斯的速度是乌龟十倍，所以特别地傲慢，就让乌龟在前面100米的地方做为起跑线。结果信号枪一响，这位吹牛的大神就杯具了，因为当阿基里斯跑完100米来到乌龟的起跑线时，乌龟也已经又向前爬了10米。当阿基里斯再跑完10米时，乌龟又向前爬了1米，当阿基里斯跑完这1米时，龟又向前跑了1分米。就这样，阿基里斯永远都追不上乌龟！

“阿基里斯追乌龟”的悖论在逻辑上是天衣无缝的，假如这是一个无法用“事实”验证的“逻辑”，很多人都会坚信这个“逻辑”所反映的“事实”也是正确的。但是遗憾的是，这个“逻辑”很容易用“事实”将它推翻。这个悖论让数学家们感到非常担忧，如果在数学中出现了类似的无懈可击的“逻辑”，却又无法用“事实”去证明它的正确与否的时候，那么以此为基础建立起来的“数学体系”还可靠吗？

因而在“芝诺悖论”提出来之后的上千年时间里，数学家们都谨慎地对待数学中的“纯逻辑演绎”的问题。比如，在“第一次数学危机”之后，人们发现了“有理数系”的缺陷，将数系扩充到了“实数系”，但人们对“实数系”的研究的步伐忽然停了下来，这一停就是上千年之久，这就是为了避免“纯逻辑演绎”所带来的“不可靠性”。

在“实数系”沉默的一千多年里，数学家们都在忙啥呢？数学家们都在忙着研究“几何学”，因为数学家们认为以“几何”为基础的“逻辑”推演，在“事实”上验证起来是显而易见的。正是在这种思想的指导下，古希腊数学家欧几里德在总结前人经验的基础上，以五条显而易见的、普遍公认的“几何事实”做为“公理”，然后进行层层推演，完成了史诗级巨著《几何原本》。

为了避免“纯逻辑演绎”所带来的弊端，欧几里德在选用“几何学”的名称或术语，都是人们从具体的“生产实践”中“抽象”出来的，将那些“不证自明”、大家公认的简单事实做为“公理”，再经严密的“逻辑推演”而作为“定理”，然后再用这些“定理”去解决人们在生活、生产中的具体问题，《几何原本》的“公理化体系”，经过人们的千百次的“事实”验证，都是无懈可击的，因而在接下来的一千多年里，一直是学界公认的权威，吸引了包括牛顿、爱因斯坦在内的一众铁杆粉丝。

少年时期的牛顿和爱因斯坦并不是神童，脑瓜子看起来还没有普通人那么灵光，但几乎都是在深入地学习了《几何原本》之后，仿佛一夜之间醍醐灌顶，脑瓜子活络起来了。牛顿的考官曾经批评牛顿的几何基础太弱，将来恐怕是一事无成。一向高傲的牛顿被泼冷水之后深受打击。一次偶然的机会买来《几何原本》，刻苦钻研。最终打破了考官诅咒似的预言，成为一代科学巨匠，模仿《几何原本》的逻辑体系，写下了另一部具有划时代意义的史诗级巨著《自然哲学的数学原理》，英国正是在这部巨著的指导下，率先完成了工业革命，成为了世界第一强国。而同时期的清朝政府视数学为“奇技淫巧”，难登大雅之堂，因而当时的数学发展几乎处于停滞的状态。落后就要挨打，数学的落后导致了科技的全面落后，帝国主义的坚船利炮敲开了我们的国门，导致我们的祖国和民族遭受了百年的屈辱史。

由此可见，《几何原本》对后世的影响是无比巨大的，但是，任何伟大的作品都会有它的局陷性，人们在享受《几何原本》所带来的丰硕成果时，也陷入了《几何原本》所带来的思维囚笼。当数学家罗巴切夫斯基和黎曼以《几何原本》的第五公设为基础，用“纯逻辑演绎”的方法创立了与“欧氏几何”完全不同的“非欧几何”体系时，那个时代的学界权威对他的工作充满了置疑。

人们对“非欧几何”的怀疑，归根结底还是人们对“芝诺悖论”式的“纯逻辑演绎”的警惕，认为“非欧几何”虽然在“逻辑”上无懈可击，但是却与“事实”不符，在现实中根本找不出如“非欧几何”所说的“三角形内角和大于180度”和“三角形的内角和小于180度”的情况。

直到爱因斯坦的“狭义相对论”遭遇瓶颈之后，发现“非欧几何”的“时空理论”是正好可以突破这个瓶颈的有力工具，于是，具有划时代意义的“广义相对论”诞生了。

“广义相对论”的成功，打破了自伽利略和牛顿的年代以来，物理学必须是一门“实验科学”的思维，特别是“量子力学”和“弦理论”的蓬勃发展，“现代物理”已经很难用“实验”去验证。

但是，无法用“事实”验证的“逻辑”终归是不完美的，由于“实验”上的局限性，导致今天的“理论物理”依然是一个未完成的体系，它的发展虽然前途光明，但是道路难免会坎坷曲折。人们说，近一百年来，物理的发展似乎已经遇到了瓶颈，要想让“物理学”能够突破瓶颈，还是必须拥有越来越多的“实验结果”。

这依然延续着“芝诺悖论”带给人们的提醒：“逻辑”与“事实”，终究是不可偏废的，“逻辑”与“事实”的完美统一，依然是科学至高无上的追求。