未经投影的地理坐标系如何显示为平面地图

缘起

使用Leaflet做点缓冲,也就是调用“L.circle()”绘制圆形,传入半径100米,绘制出来的圆却覆盖了全球,当时就猜想,应该是把半径按100度来绘制了,但看了Leaflet API介绍,里面描述的半径单位就是用的“米”。

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然后想起来这次用的地图底图为天地图,在初始化地图时,通过修改crs,将地图坐标系修改为了“EPSG:4490”(通过Proj4Leaflet定义),而Leaflet默认采用的是“EPSG:3857”,看来问题应该是出在了这里。

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于是通过三角函数,将100米换算成度再次绘制,可以成功绘制。

const newRadius = Math.asin(radius / 6371000) * 180 / Math.PI //将米转为度,6371000为地球赤道半径

然后就引发了思考,“EPSG:4490”是地理坐标系,也叫球面坐标系,默认应该是个球,而二维地图是个平面,球要在平面展示就需要投影,那么未经投影的“EPSG:4490”坐标系是如何绘制到平面上的呢?

接下来就研究下地理坐标系和平面坐标系,以及未经投影的地理坐标系到底是如何显示为平面地图的。

基础概念

首先了解几个基础概念:

地理坐标系:或称球面坐标系,参考平面是椭球面,一般是指由经度、纬度和高度组成的坐标系,能够标示地球上的任何一个位置。常见的地理坐标系有WGS84EPSG:4326)、CGCS2000EPSG:4490)、GCS_Xian_1980EPSG:4610)。

投影:地理坐标系是三维的,而我们要在地图或者屏幕上显示就需要转化为二维,这个过程被称为投影。常用的投影有墨卡托投影(Mercator)、高斯-克吕格投影、伪墨卡托投影(Web Mercator)。

投影坐标系:经过投影后的坐标系就是投影坐标系,坐标单位一般是米、千米等。可以认为投影坐标系就是地理坐标系+投影。常见的投影坐标系有EPSG:3857(也就是WGS84 +伪墨卡托投影)。

经纬度等间隔直投

了解上面这几个概念后,回到开头的问题,地理坐标系“EPSG:4490”或者“EPSG:4326”,是如何显示到平面上的呢?

其实在我们使用二维方式展示地图,而坐标系为地理坐标系时,用到了是一种特殊的投影方式,经纬度等间隔直投

经纬度等间隔直投:英文叫法是Platte Carre projection,是等距矩形投影Equirectangular projection)基准点纬度取0°(赤道)时的特殊情况。它的特点是相同的经纬度间隔在屏幕上的间距相等,没有复杂的坐标变换。我们可简单的理解为,在笛卡尔坐标系中,将赤道作为X轴,子午线作为Y轴,然后把本来应该在南北两极相交的经线一根一根屡直了,成为了互相平行的经线,而每条纬线的长度也在这个过程中都变为与赤道等长。

在经纬度等间隔直投中,经度范围是-180180,纬度范围是-9090,因此他的地图是长方形,且长宽比是2:1

在地图API中,当定义地图坐标系为地理坐标系时,一般会默认采用这种投影方式,这也是我们能看到地理坐标系的平面地图的原因。

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但是经纬度等间隔直投有个很明显的缺点,就是在低纬度地区长度、角度、面积、形状变化比较小,越向高纬度,水平距离变长越大,很小的纬圈都变得和赤道一样长,但是经线长度始终保持不变。这样就导致要素经过投影后会角度会发生变化,比如非常标准的十字路口,两条路“非常垂直”,而经过“经纬度等间隔直投”投影后,两条路成了斜交。

正是由于经纬度直投的这些缺点,特别是投影后角度的变化,导致它在一些领域是无法应用的,比如说航海中航线的表达(本来的直角转弯,在地图上显示的可能是钝角或锐角)。

当然,要把球面坐标投影到平面展示,不可避免都会产生这样那样的变形,而每种地图投影也都有自己的优点和缺点,这就需要我们根据不同的应用场景来选择合适的投影了。

接下来我们再了解下日常最常见的一种投影,墨卡托投影,然后再将经纬度等间隔直投和墨卡托投影做下对比,这样可以更直观的观察出各自的优缺点。

墨卡托投影

墨卡托投影,又名“等角正轴圆柱投影”,荷兰地图学家墨卡托(Mercator)在1569年拟定,假设地球被围在一个中空的圆柱里,其赤道与圆柱相接触,然后再假想地球中心有一盏灯,把球面上的图形投影到圆柱体上,再把圆柱体展开,这就是一幅标准纬线为零度(赤道)的“墨卡托投影”绘制出的世界地图。

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墨卡托投影最大优点就是在地图上保持方向和角度的正确,如果循着墨卡托投影地图上两点间的直线航行,方向不变,可以一直到达目的地,因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件,给航海者带来很大方便。这也是目前的大部分互联网地图选择墨卡托投影(伪墨卡托投影或者基于墨卡托投影做加密偏移)的原因之一,因为人们希望在地图上看到的地物与实际地物长得相似,并且导航方向不变。

Web Mercator投影,也就是“EPSG:3857”,也被称为“伪墨卡托投影”,这个投影方法是Google Map最先发明并使用的,它的地理上的不严谨性在于,在投影过程中,将表示地球的椭球面作为正球面处理,传说中是因为谷歌程序员懒得用椭球面来编程计算屏幕坐标...想具体了解,可以参考Web Mercator 公开的小秘密

对于墨卡托投影来说,也有个明显的缺点,就是越到高纬度,大小扭曲越严重,到两极会被放到无限大,因此墨卡托投影并不能表现出南北两极。为了方便使用,互联网地图使用的Web Mercator投影,通过对两极地区的裁剪,把地图搞成一个正方形,这样在定义缩放级别、地图切图等处理时就会更清晰易懂。具体相关原理计算可参考https://www.jianshu.com/p/434feafd40a7。

通过下图,可以看到墨卡托投影下每个国家的大小和实际大小的差异。

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下面两张图片来自天地图网站截图,我们可以看出,地图层级同样是18级,黑龙江漠河(上图)与海南三亚(下图)的地图比例尺差别还是很大的。

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经纬度等间隔直投 VS 墨卡托投影

下图来自 Mercator vs. well…not Mercator (Platte Carre),生动地说明经纬度等间隔直投Platte Carre)和 墨卡托投影Mercator)这两种投影下的失真情况:

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左图表示地球球面上大小相同的圆形,右上为墨卡托投影,投影后仍然是圆形,但是在高纬度时物体被严重放大了。右下为经纬度等间隔直投,圆的大小变化相对较小,但是高纬度时的图像明显被拉长了。

查看天地图传统版网站https://map.tianditu.gov.cn/2020/,可以切换下投影方式,对比看一下不同投影的区别(可以把地图拖到哈尔滨地区,区别更明显)。通过下面动态图可以看出不同投影在哈尔滨地区的差异,其中“球面墨卡托”,采用的是web墨卡托投影(EPSG:3857);“经纬度”,采用的是EPSG:4326的经纬度等间隔直投。

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总结

  1. 未经投影的地理坐标系之所以可以显示为平面地图,是因为它默认采用了经纬度等间隔直投的投影方式。
  2. 大部分互联网地图都是采用Web MercatorEPSG:3785),或者是基于Web Mercator做了加密偏移。
  3. 经纬度等间隔直投在高纬度地区的平面变形严重,大小和角度都会发生明显变化。
  4. Web Mercator在高纬度地区的平面会明显被拉大,但是角度不会发生变化。
  5. 对于地图投影,没有最好的,只有最合适的,需要根据自己的应用场合来选择。

参考资料:

  1. https://blog.csdn.net/kikitamoon/article/details/46124935
  2. https://idvux.wordpress.com/2007/06/06/mercator-vs-well-not-mercator-platte-carre/
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Map_projection
  4. https://en.wikipedia.org/wiki/Equirectangular_projection
  5. https://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection
  6. https://www.jianshu.com/p/434feafd40a7

原文地址:http://gisarmory.xyz/blog/index.html?blog=gis-coordinate-projection

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