《算法竞赛·快冲300题》每日一题：“连接草坪(II)”
《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。
文章目录
- 题目描述
- 题解
- C++代码
- Java代码
- Python代码
“ 连接草坪(II)” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1868
题目描述
【题目描述】 在N×M的地图上，X表示草，.表示土地。
一个X与上下左右的X相连形成一片草坪。
现在已知地图上有三片草坪，最少需要将多少个单位上的土地变成草，才能把两块草坪连接成一块草坪。
【输入格式】 输入第一行为正整数N和M，不超过50。
接下来N行，每行M个字符。
**【输出格式】**输出一个数字表示答案。
【输入样例】
6 16
................
..XXXX....XXX...
...XXXX....XX...
.XXXX......XXX..
........XXXXX...
..XXX....XXX....
【输出样例】
4
题解
题目给出了3块互不连通的草地，问最少把多少块土地变成草，可以把3块草地连成一块草地。考虑两种情况：
（1）从土地的角度考虑。对任意一块土地坐标(x,y)，分别计算它到3块草地的3个最少土地（最短路径），然后相加，得到土地(x,y)到3块草地的总最短路径count(x,y)。在所有count(x,y)中取最小值，是否就是答案？不一定，因为这些路径可能穿过其它的草地，导致重复计算。例如样例中左上角(0,0)，它到3块草地的最短路径分别是3、11、7，但是它到3块草地的总最短路径实际上是3+4+4。
（2）从草地的角度考虑。计算任意两块草地之间的最少土地（最短路径），记为Min[]，其中Min[1]是土地（1-2)之间的最短路、Min[2]是土地（2-3)之间的最短路、Min[3]是土地（1-3)之间的最短路。那么是否min(Min[1]+Min[2], Min[2]+Min[3], Min[1]+Min[3]就是答案？不一定，它可能还不如情况（1）算出的最短路。
例如下图，根据（2）算总最短路，3块草地之间的最短路是1、3、3，总短短路min(1+3, 3+3, 1+3)=4。但是根据情况（1）算最短路，箭头指向的土地k到3个草地的距离是1、3、1，总最短路是1+3+1-2=3，这里减2，是因为k被算了3次，其实只需要算1次。
根据情况（1）和（2）算出的结果，取它们的最小值，就是答案。。
【重点】 DFS的应用 。
C++代码
代码分4步：
1、标记每个点属于哪个连通块，用DFS编码。
2、枚举每块土地，计算它到3个草地的最小距离，即情况（1）。
3、计算3个草地之间的最短距离，即情况（2）。
4、在情况（1）和情况（2）中找最小值，就是答案。
代码的复杂度约为O(NM)。
#includeJava代码
import java.util.*;
public class Main {
static int n, m, id_cnt = 0;
static char[][] Map = new char[55][55];
static int[][] id = new int[55][55];
static List<List<Pair<Integer, Integer>>> A = new ArrayList<>(4);
static int[][] dir = {{1, 0}, {0, 1}, {-1, 0}, {0, -1}};
static void dfs(int x, int y, int c) {
id[x][y] = c;
A.get(c).add(new Pair<>(x, y));
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int nx = x + dir[i][0], ny = y + dir[i][1];
if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= m) continue;
if (Map[nx][ny] == '.') continue;
if (id[nx][ny] != 0) continue;
dfs(nx, ny, c);
}
}
static int Count(int x, int y, int i) {
int ans = 100;
for (Pair<Integer, Integer> a : A.get(i))
ans = Math.min(ans, Math.abs(a.getKey() - x) + Math.abs(a.getValue() - y));
return ans;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
n = cin.nextInt();
m = cin.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++)
Map[i] = cin.next().toCharArray();
for (int i = 0; i < 4; i++)
A.add(new ArrayList<>());
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < m; j++)
if (Map[i][j] == 'X' && id[i][j] == 0)
dfs(i, j, ++id_cnt);
int ans = 100;
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < m; j++)
if (Map[i][j] == '.')
ans = Math.min(ans, Count(i, j, 1) + Count(i, j, 2) + Count(i, j, 3) - 2);
int[] Min = {0, 100, 100, 100};
for (int i = 1; i <= 3; i++) {
int j = i + 1 <= 3 ? i + 1 : 1;
for (Pair<Integer, Integer> a : A.get(i))
Min[i] = Math.min(Min[i], Count(a.getKey(), a.getValue(), j));
}
for (int i = 1; i <= 3; i++)
ans = Math.min(ans, Min[i] + Min[i + 1 <= 3 ? i + 1 : 1] - 2);
System.out.println(ans);
cin.close();
}
static class Pair<K, V> {
public K key;
public V value;
public Pair(K key, V value) {
this.key = key;
this.value = value;
}
public K getKey() { return key; }
public V getValue() {return value; }
}
}
Python代码
n, m = map(int, input().split())
Map = [input() for _ in range(n)]
id, id_cnt = [[0] * m for _ in range(n)], 0
A = [[] for _ in range(4)]
dir = [(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)]
def dfs(x, y, c):
id[x][y] = c
A[c].append((x, y))
for i in range(4):
nx, ny = x + dir[i][0], y + dir[i][1]
if nx < 0 or nx >= n or ny < 0 or ny >= m: continue
if Map[nx][ny] == '.': continue
if id[nx][ny] != 0: continue
dfs(nx, ny, c)
def Count(x, y, i):
ans = 100
for a in A[i]:
ans = min(ans, abs(a[0] - x) + abs(a[1] - y))
return ans
for i in range(n):
for j in range(m):
if Map[i][j] == 'X' and id[i][j] == 0:
dfs(i, j, id_cnt+1)
id_cnt += 1
ans = 100
for i in range(n):
for j in range(m):
if Map[i][j] == '.':
ans = min(ans, Count(i, j, 1) + Count(i, j, 2) + Count(i, j, 3) - 2)
Min = [0, 100, 100, 100]
for i in range(1, 4):
j = i+1 if i+1 <= 3 else 1
for a in A[i]:
Min[i] = min(Min[i], Count(a[0], a[1], j))
for i in range(1, 4):
ans = min(ans, Min[i] + Min[i+1 if i+1 <= 3 else 1] - 2)
print(ans)