高中奥数 2022-01-18

2022-01-18-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P052 习题13）

用表示实数的小数部分.证明:对任意,都有

证明

对归纳,只需注意到

$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{\left(n+1\right)^{2}}\left\{\sqrt{k}\right\}&=\sum\limits_{k=1}^{n^{2}}\left\{\sqrt{k}\right\}+\sum\limits_{k=n^{2}+1}^{\left(n+1\right)^{2}}\left\{\sqrt{k}\right\}\\ &\leqslant \dfrac{1}{2}\left(n^2-1\right)+\sum\limits_{k=1}^{2n}\left(\sqrt{n^2+k}-n\right)\\ &\leqslant \dfrac{1}{2}\left(n^2-1\right)+\sum\limits_{k=1}^{2n}\left(\sqrt{\left(n+\dfrac{k}{2n}\right)^{2}}-n\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\left(n^2-1\right)+\dfrac{1}{2n}\sum\limits_{k=1}^{2n}k\\ &=\dfrac{1}{2}\left(n^2-1\right)+\dfrac{1}{2}\left(2n+1\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\left(\left(n+1\right)^{2}-1\right). \end{aligned}$

即可实现归纳过渡.

2022-01-18-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P053 习题14）

设、,记.证明:

这里表示不超过的最大整数.

证明

当,通过对正整数归纳,易证,于是,这时 $S_{m}\left(n\right)\leqslant \sum\limits_{k=1}^{n} k^{\frac{m}{k^{2}}}=n+\sum\limits_{k=1}^{n} \left(k^{\frac{m}{k^{2}}}-1\right)\leqslant n+\sum\limits_{k=1}^{n} \left(k^{\frac{m}{k^{2}}}-1\right)\leqslant n+m\left(2^{\frac{m}{4}}-1\right)$ ,原不等式成立.

当时,注意到,对任意,,均有

这里等价于,它可通过对归纳予以证明.于是,依此结合时不等式成立,及数学归纳法,可知对任意、,均有.

2022-01-18-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P053 习题15）

设为给定的正整数,考虑数列:

对每个,求数列中所有是整数的项组成的集合.

解

用表示数列中为整数的项组成的集合.

我们断言:对任意,(即与的具体值无关,它由所有2的幂组成).

由,知,下设,我们证明:中比大的数中最小的那个是.依此结论结合数学归纳法可知断言成立.

事实上,设,即存在,使得,则对所有满足的下标,有,即.

从出发,可知对这样的,有,现在取上述条件中最大的,这时,而.

记,则由知,而,故,所以,从而.

重复上述讨论,通过每次加上,得到形如的项,,并由可确定,依次递推,一般地,利用同余,可确定.从而数列中的下一个次方数在第一次取零时得到,这时,即下一个次方数为.也就是说中比大的数中最小的那个是.

问题获解.

2022-01-18-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P053 习题16）

数列定义如下,,.证明:对任意正整数,都有.

证明

由递推关系可知,对任意,都有.进一步,由,得.求和,得

$\begin{aligned} x_{1}+\cdots+x_{n}&=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\left(2\left(k-1\right)x_{k-1}-2kx_{k}\right)\\ &=2\sum\limits_{k=1}^{n}\left(kx_{k}-\left(k+1\right)x_{k+1}\right)\\ &=2\left(x_{1}-\left(n+1\right)x_{n+1}\right)\\ &=1-2\left(n+1\right)x_{n+1}\\ &<1. \end{aligned}$

命题获证.

高中奥数 2022-01-18

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