概率分布：二项分布

二项分布

二项分布(binomial distribution)就是在重复n次独立的伯努利试验(Bernoulli experiment)中，所期望结果出现次数的概率分布。

伯努利试验的特点：

1. 每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立
2. 每次试验中事件发生的概率是相同的
3. 各次试验的事件相互之间独立

重复n次独立的伯努利试验形成二项分布（高尔顿板）

高尔顿板丨图片来源：维基百科

从最上方的节点往下，是几排交错排列的钉子。从入口扔下的小球撞上一个钉子，就像触网的乒乓球一样，弹向左边和右边的概率相等。最上方只有一种可能。下降之后，左右两边比例变成1:1，继续这个步骤，第n行的比例系数其实就是n次二项式的展开系数，或者表现为杨辉三角的第n行数值。

一般地，如果随机变量服从参数为和的二项分布，记为或。次试验中正好得到次成功的概率由概率质量函数给出

式中，，是二项式系数。不同参数下的二项分布概率分布：

如果，那么随机变量的期望为

随机变量的方差为

二项分布的近似

当时，二项分布的概率质量函数是对称的。当时，二项分布的概率质量函数呈现偏态，且与的偏斜方向相反。如果很大，即使，偏态逐渐降低，最终成正态分布。

 二项分布逼近正态分布的过程丨图片来源：维基百科

1. 近似为泊松分布

如果存在有限极限，则该二项分布就趋于参数为的泊松分布

实际运用中，如果很大，但比较小（比起来说很小），通常就满足要求。一般来说，n的值越大，p的值越小，近似就越准确。因为在这种情况下，(1-p)将接近1，因此将接近分布的均值，即。这满足了泊松分布模型中均值和方差接近的条件。那么用泊松分布近似二项分布更简单些，毕竟泊松分布跟二项分布一样都是离散型分布。

2. 近似为高斯分布

如果趋于无限大（如是一个定值），则根据德莫佛-拉普拉斯(De'Moivre-Laplace)中心极限定理，这列二项分布将趋近于高斯分布（正态分布）

式中，，。

实际运用中，要求且时，一般都用高斯分布来近似计算二项分布。