二、联结词——离散数学

2.1 联结词

联结词亦称命题联结词,命题逻辑的基本概念之一,指由已有的命题构造出新命题所用的词语

2.1.2 否定联结词

设P为任意一命题,复合命题“非P”(或P的否定)称为P的否定式,记做

读作“非P”真),┐称为否定联结词

┐P的逻辑关系为P不成立。┐P为真当且仅当P为假。

命题P的真值与其否定┐P的真值之间的关系。

P ┐P
0 1
1 0

 

2.1.3 合取联结词

 设P、Q为任意二命题,复合命题“P并且Q”(或P与Q)称为P和Q的合取式;记作P∧Q,读作"P与Q",∧称为合取联结词

P∧Q 逻辑关系为P与Q同时成立,P∧Q为真当且仅当P与Q 同时为真

命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示:

P Q P∧Q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

 

当然在自然语言中有与之相对应的词语,如: 并且、 同时、 以及、不但……而且、虽然……但是等。

2.1.4 析取联结词

 设P、Q为任意二命题,复合命题“P或Q”称为P和Q的析取式。记作P∨Q,读作“P或Q”,∨称为析取联结词。

P∨Q的逻辑关系为P与Q中至少有一个成立

P∨Q的真值与命题P命题Q的真值之间的关系:

P Q P∨Q
0 1 1
0 0 0
1 0 1
1 1 1

注意:联结词是可兼或,因为当命题P和Q的真值都为真时,其值也为真,但自然语言中的 “或”既可以是排斥或也可以是可兼或

2.1.5 蕴含联结词

        设P、Q为任意二命题,复合命题“如果P,则Q”称为P和Q的蕴含式,记作P→Q,读作“如果P则Q”;→称为蕴含联结词;称P为 前件,Q为后件。

 

 P→Q的逻辑关系为Q是P的必要条件。P→Q为假当且仅当P为真Q为假。

命题P→Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系

P Q

P→Q

0 0

1

0 1 1
1 0 0
1 1 1

注意:

1.蕴含联结词也称为条件联结词,“如果P,则Q”也称为P与Q的条件式。

2.蕴含式的真值关系不太符合自然语言中的习惯

3.给定命题公式P→Q,命题公式Q→P称为P→Q的逆换式,┐P→Q称为P→Q的反换式,┐Q→P称为他的逆反式

在自然语言中,对于“如果……则……”这样的语句当前提为假时,结论不管真假,这个语句的意义是无法判断的,

2.1.6 等价联结词

设P、Q为任意二命题,复合命题“P当且仅当Q”称为命题P和Q的等价式。记作P↔Q,读作“P当且仅当Q”,↔称作等价联结词。

P↔Q的逻辑关系为P与Q互为充分必要条件,P↔Q为真当且仅当P与Q同时为真或同时为假。

命题P与Q的真值之间的关系:

P Q P↔Q
0 0

1

0 1 0
1 0 0
1 1 1

 

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