JS 0.1+0.2的理解

JS红皮书里面介绍浮点数值时有提到，0.1+0.2结果不是0.3，而是0.30000000000000004。对于非计算机专业的我而言，当时看到这句话一脸茫然。

为了解除心中的疑惑，在网上看了很多文章，才弄懂其中的原理，在这里记录下来。

1. 对于计算机而言，两个数字在相加时是以二进制形式进行的，在呈现结果时才转换成十进制。JS中的数字是用IEEE 754 双精度 64 位浮点数来存储的，它由64位组成，这64位由3部分组成，（S：符号位，Exponent:指数域，Fraction：尾数域）。
   具体结构如下图：

2.十进制小数转换为二进制小数：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，此时0或1为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止。

如：0.7=（0.1 0110 0110...）B
0.7*2=1.4========取出整数部分1
0.4*2=0.8========取出整数部分0
0.8*2=1.6========取出整数部分1
0.6*2=1.2========取出整数部分1
0.2*2=0.4========取出整数部分0
0.4*2=0.8========取出整数部分0
0.8*2=1.6========取出整数部分1
0.6*2=1.2========取出整数部分1
0.2*2=0.4========取出整数部分0

 // 0.1 转化为二进制
0.0 0011 0011 0011 0011...(0011无限循环）

// 0.2 转化为二进制
0.0011 0011 0011 0011 0011...(0011无限循环）

由于尾数只有52位，所以对于0.1和0.2转换后的二进制如下：

e = -4; m =1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 (52位)
e = -3; m =1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 (52位)

像十进制数有4舍5入的规则一样，二进制也存在类似的规则，简单的说，如果 1.101 
要保留一位小数，可能的值是 1.1 和 1.2，那么先看 1.101 和 1.1 或者 1.2 哪个值更
接近，毫无疑问是 1.1，于是答案是 1.1。那么如果要保留两位小数呢？很显然要么
是 1.10 要么是 1.11，而且又一样近，这时就要看这两个数哪个是偶数（末位是偶
数），保留偶数为答案。综上，如果第 52 bit 和 53 bit 都是 1，那么是要进位的。
这也导致了误差的产生。

3. 我们看下这两个二进制相加

  e = -4; m = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 (52位)
+ e = -3; m = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 (52位)
---------------------------------------------------------------------------
相加时如果指数不一致，需要对齐，一般情况下是向右移，因为最右边的即使溢出了，损失的精度远远小于左边溢出。
  e = -3; m = 0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101 
+ e = -3; m = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010
---------------------------------------------------------------------------
  e = -3; m = 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111
---------------------------------------------------------------------------
  e = -2; m = 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100(52位)
---------------------------------------------------------------------------
= 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100
= 0.30000000000000004(十进制)

总结：我们可以看到，当十进制小数的二进制表示的有限数字超过 52 位时，在 JavaScript 里是不能精确存储的，这时候就存在舍入误差(Round-off error)。

参考：
JavaScript 中小数和大整数的精度丢失