【Codeforces】 CF1436F Sum Over Subsets

题目链接

CF方向
Luogu方向

题目解法

首先考虑消去 $gcd$ 的限制
考虑莫比乌斯反演
优先枚举 $d$ 可得答案为 ${\sum }_{d=1}^n\mu (d)\ast ans(d)$
其中 $ans(d)$ 是所有 $a_i$ 是 $d$ 的倍数组成的答案

令 $a_i$ 为 $d$ 的倍数的所有数的可重集为 $S$
考虑 ${\sum }_{x\in A}x\ast {\sum }_{y\in B}y={\sum }_{x\in A}{\sum }_{y\in B}xy$
考虑每一对 $x,y$ 贡献的答案

1. $x$ 与 $y$ 是同一个数（这里的同一个数不是数值相同）
   答案为 $x^2\ast (|S|-1)\ast 2^{|S|-2}$
   对于唯一不在 $A$ 中，却在 $B$ 中的数有 $|S|-1$ 中选择，其他 $|S|-2$ 可选可不选
2. $x$ 与 $y$ 不是同一个数（可能数值相同）
   答案为 $xy\ast ((|S|-2)\ast 2^{|S|-3}+2^{|S|-2})$
   若 $x$ 不是唯一 … 的数，那么唯一 … 的数有 $|S|-2$ 中选择，其他 $|S|-3$ 可选可不选
   若 $x$ 是唯一 … 的数，那么其他 $|S|-2$ 个数可选可不选

考虑 $freq$ 的值域很大，考虑对每个数值共同考虑
分类仍然相同

1. $x$ 与 $y$ 是同一个数
   $Ans=fre{q}_x\ast x^2\ast (|S|-1)\ast 2^{|S|-2}$
2. $x$ 与 $y$ 不是同一个数（可能数值相同）
   继续分类讨论
   若 $x,y$ 数值相同
   $Ans=fre{q}_x\ast (fre{q}_x-1)\ast x^2\ast ((|S|-2)\ast 2^{|S|-3}+2^{|S|-2})$
   若 $x,y$ 数值不同
   令 $sum={\sum }_{d|i}i\ast fre{q}_i$
   $Ans=fre{q}_x\ast x\ast (sum-fre{q}_x\ast x)\ast ((|S|-2)\ast 2^{|S|-3}+2^{|S|-2})$

实际复杂度为调和级数 $O(nlnn)$

#include 
#define int long long
using namespace std;
const int N(100100),P(998244353);
int n,ans,mu[N],sum[N];
int pr[N],cnt;
bool vis[N];
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
int qmi(int a,int b){
	if(b<0) return 0;
	int res=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1) res=res*a%P;
		a=a*a%P;
	}
	return res;
}
int solve(int d){
	int tot1=0,tot2=0;
	for(int i=d;i<=100000;i+=d) tot1+=sum[i],tot2=(tot2+sum[i]%P*i%P)%P;
	if(tot1<2) return 0;
	int pw1=qmi(2,(tot1-3)%(P-1)),pw2=qmi(2,(tot1-2)%(P-1));
	tot1%=P;
	int res=0;
	for(int i=d;i<=100000;i+=d){
		int t=sum[i]%P;
		//x,y是同一个数
		res=(res+t*i%P*i%P*(tot1-1+P)%P*pw2%P)%P;
		//x,y的数值相同
		if(sum[i]>=2) res=(res+t*(t-1+P)%P*i%P*i%P*((tot1-2+P)*pw1%P+pw2)%P)%P;
		//x,y数值不同
		res=(res+t*i%P*(tot2-i*t%P+P)%P*((tot1-2+P)*pw1%P+pw2)%P)%P; 
	}
	return res;
}
void sieve(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=100000;i++){
		if(!vis[i]) vis[i]=1,pr[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]<=100000/i;j++){
			vis[pr[j]*i]=1;
			if(i%pr[j]==0) break;
			mu[i*pr[j]]=-mu[i];
		}
	}
}
signed main(){
	n=read(),sieve();
	for(int i=1,x,y;i<=n;i++) x=read(),y=read(),sum[x]+=y;
	for(int i=1;i<=100000;i++) if(mu[i]) ans=((ans+mu[i]*solve(i))%P+P)%P;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}