中心极限定理例题

关于大数定律的两个题目。

例1

注意牢记公式：$$P\{X\}=P\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }<x\}=\frac{{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx}{\sqrt{2\pi }}$$

注意此处的分母是 $\sqrt{n}\sigma$，$\sigma$与${\sigma }^2$是不同的，前者是标准差，后者是平方差。此公式的分子分母分别除以n后，转化为平均数的中心极限定理形式：
$$P\{X\}=P\{\frac{\bar{x}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}<x\}=\frac{{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx}{\sqrt{2\pi }}$$

此外，还有一个标准化随机变量的形式：

$$\frac{x-\mu }{\sigma }$$

该形式在标准高斯分布和统计学中多有涉及。

例2

注意：

二项分布的分布率：
$$\sum _{k=0}^{n}P(x=k)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)P^k(1-P{)}^{n-k}=(P+1-P{)}^n=1$$