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本文参考:
《机构运动微分几何学分析与综合》-王德伦、汪伟
《微分几何》吴大任
对于平面曲线 Γ \Gamma Γ存在直角坐标参数: { x = x ( t ) y = y ( t ) \left\{ \begin{matrix} x=x(t) \\ y=y(t) \\ \end{matrix} \right. {x=x(t)y=y(t),其中: t t t为曲线参数,上式消去/置换参数 t t t可得关系表达式: y = F ( x ) y=F(x) y=F(x),可得坐标参数的隐函数形式: F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0。
将上述坐标参数置于坐标系 { O : i ⃗ , j ⃗ } \{O:\vec{i},\vec{j}\} {O:i,j}中,则可得曲线 Γ \Gamma Γ的矢量方程: Γ : R ⃗ = x ( t ) i ⃗ + y ( t ) j ⃗ \Gamma :\vec{R}=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j} Γ:R=x(t)i+y(t)j,或简化为: Γ : R ⃗ = R ⃗ ( t ) \Gamma :\vec{R}=\vec{R}(t) Γ:R=R(t),其中: t t t为曲线参数。
在平面坐标系 { O : i ⃗ , j ⃗ } \{O:\vec{i},\vec{j}\} {O:i,j}中,与 i i i轴夹 φ \varphi φ角的单位矢量函数: e ⃗ I ( φ ) {{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}} eI(φ)称为圆矢量函数
,将平面曲线 Γ \Gamma Γ用圆矢量表示为: R ⃗ = r ( φ ) e ⃗ I ( φ ) \vec{R}=r(\varphi ){{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}} R=r(φ)eI(φ),其中: r ( φ ) r(\varphi ) r(φ)决定 R ⃗ {\vec{R}} R的大小, e ⃗ I ( φ ) {{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}} eI(φ)决定 R ⃗ {\vec{R}} R的方向。
若将 e ⃗ I ( φ ) {{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}} eI(φ)绕单位矢量 k k k逆时针转动90°,可得圆矢量 e ⃗ I I ( φ ) = e ⃗ I ( φ + π / 2 ) {{{\vec{e}}}_{II(\varphi )}}={{{\vec{e}}}_{I(\varphi +\pi /2)}} eII(φ)=eI(φ+π/2)
圆矢量具有如下性质(易证):
1. 展开式:
{ e ⃗ I ( φ ) = cos φ i ⃗ + sin φ j ⃗ e ⃗ I I ( φ ) = − sin φ i ⃗ + cos φ j ⃗ \left\{ \begin{matrix} {{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}}=\cos \varphi \vec{i}+\sin \varphi \vec{j} \\ {{{\vec{e}}}_{II(\varphi )}}=-\sin \varphi \vec{i}+\cos \varphi \vec{j} \\ \end{matrix} \right. {eI(φ)=cosφi+sinφjeII(φ)=−sinφi+cosφj
2. 正交性:
约定 { O : e ⃗ I ( φ ) , e ⃗ I I ( φ ) , k ⃗ } \{O:{{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}},{{{\vec{e}}}_{II(\varphi )}},\vec{k}\} {O:eI(φ),eII(φ),k}构成单位正交右手系,即: e ⃗ I ( φ ) ⋅ e ⃗ I I ( φ ) = 0 {{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}}\cdot {{{\vec{e}}}_{II(\varphi )}}=0 eI(φ)⋅eII(φ)=0, e ⃗ I ( φ ) × e ⃗ I I ( φ ) = k ⃗ {{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}}\times {{{\vec{e}}}_{II(\varphi )}}=\vec{k} eI(φ)×eII(φ)=k
3. 合角公式:
{ e ⃗ I ( θ + φ ) = cos ( θ + φ ) i ⃗ + sin ( θ + φ ) j ⃗ = cos θ e ⃗ I ( φ ) + sin θ e ⃗ I I ( φ ) e ⃗ I I ( θ + φ ) = − sin ( θ + φ ) i ⃗ + cos ( θ + φ ) j ⃗ = − sin θ e ⃗ I ( φ ) + cos θ e ⃗ I I ( φ ) \left\{ \begin{matrix} {{{\vec{e}}}_{I(\theta +\varphi )}}=\cos (\theta +\varphi )\vec{i}+\sin (\theta +\varphi )\vec{j}=\cos \theta {{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}}+\sin \theta {{{\vec{e}}}_{II(\varphi )}} \\ {{{\vec{e}}}_{II(\theta +\varphi )}}=-\sin (\theta +\varphi )\vec{i}+\cos (\theta +\varphi )\vec{j}=-\sin \theta {{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}}+\cos \theta {{{\vec{e}}}_{II(\varphi )}} \\ \end{matrix} \right. {eI(θ+φ)=cos(θ+φ)i+sin(θ+φ)j=cosθeI(φ)+sinθeII(φ)eII(θ+φ)=−sin(θ+φ)i+cos(θ+φ)j=−sinθeI(φ)+cosθeII(φ)
4. 微分公式:
d e ⃗ I ( φ ) d φ = e ⃗ I I ( φ ) , d e ⃗ I I ( φ ) d φ = − e ⃗ I ( φ ) \frac{d{{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}}}{d\varphi }={{{\vec{e}}}_{II(\varphi )}},\frac{d{{{\vec{e}}}_{II(\varphi )}}}{d\varphi }=-{{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}} dφdeI(φ)=eII(φ),dφdeII(φ)=−eI(φ)
例1-1 用圆矢量函数表示圆的矢量方程:
圆在平面直角坐标系 { O : i ⃗ , j ⃗ } \{O:\vec{i},\vec{j}\} {O:i,j}中的方程为:
{ x = x c + r cos φ y = y c + r sin φ ( 0 ≤ φ < 2 π ) \left\{ \begin{matrix} x={{x}_{c}}+r\cos \varphi \\ y={{y}_{c}}+r\sin \varphi \\ \end{matrix} \right.(0\le \varphi <2\pi ) {x=xc+rcosφy=yc+rsinφ(0≤φ<2π),其中 r r r为圆的半径, ( x c , y c ) ({{x}_{c}},{{y}_{c}}) (xc,yc)为圆心 C C C在坐标系 { O : i ⃗ , j ⃗ } \{O:\vec{i},\vec{j}\} {O:i,j}中的坐标。
若采用圆矢量函数表示圆的矢量方程,则有:
R ⃗ = R ⃗ C + r e ⃗ I ( φ ) \vec{R}={{{\vec{R}}}_{C}}+r{{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}} R=RC+reI(φ)
例1-2 用圆矢量函数表示渐开线的矢量方程:
渐开线在极坐标系中的坐标参数为:
{ r = r b cos α θ = tan α − α \left\{ \begin{matrix} r=\frac{{{r}_{b}}}{\cos \alpha } \\ \theta =\tan \alpha -\alpha \\ \end{matrix} \right. {r=cosαrbθ=tanα−α
在直角坐标系中的坐标参数为:
{ x = r b cos φ + r b φ sin φ y = r b sin φ − r b φ cos φ \left\{ \begin{matrix} x={{r}_{b}}\cos \varphi +{{r}_{b}}\varphi \sin \varphi \\ y={{r}_{b}}\sin \varphi -{{r}_{b}}\varphi \cos \varphi \\ \end{matrix} \right. {x=rbcosφ+rbφsinφy=rbsinφ−rbφcosφ
若采用圆矢量函数表达渐开线的矢量方程,则有:
R ⃗ = r b e ⃗ I ( φ ) − r b e ⃗ I I ( φ ) \vec{R}={{r}_{b}}{{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}}-{{r}_{b}}{{{\vec{e}}}_{II(\varphi )}} R=rbeI(φ)−rbeII(φ)
例1-3:用圆矢量函数表示平面全铰链四连杆机构连杆的曲线矢量方程:
建立连杆坐标系: { B : i ⃗ m , j ⃗ m } \{B:{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\} {B:im,jm},机架固定坐标系: { A : i ⃗ f , j ⃗ f } \{A:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\} {A:if,jf},点P在连杆上极坐标坐标参数为: ( r p , θ p ) ({{r}_{p}},{{\theta }_{p}}) (rp,θp):
- 点P在连杆坐标系 { B : i ⃗ m , j ⃗ m } \{B:{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\} {B:im,jm}的坐标为: { x m = r p cos θ p y m = r p sin θ p \left\{ \begin{matrix} {{x}_{m}}={{r}_{p}}\cos {{\theta }_{p}} \\ {{y}_{m}}={{r}_{p}}\sin {{\theta }_{p}} \\ \end{matrix} \right. {xm=rpcosθpym=rpsinθp
- 通过坐标变换可得P在固定坐标系 { A : i ⃗ f , j ⃗ f } \{A:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\} {A:if,jf}的轨迹曲线的坐标参数为: { x = r p cos ( θ p + γ ) + a 1 cos φ y = r p sin ( θ p + γ ) + a 1 sin φ \left\{ \begin{matrix} x={{r}_{p}}\cos ({{\theta }_{p}}+\gamma )+{{a}_{1}}\cos \varphi \\ y={{r}_{p}}\sin ({{\theta }_{p}}+\gamma )+{{a}_{1}}\sin \varphi \\ \end{matrix} \right. {x=rpcos(θp+γ)+a1cosφy=rpsin(θp+γ)+a1sinφ
用圆矢量函数 e ⃗ I ( φ ) {{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}} eI(φ)表示B点的位移矢量,圆矢量函数 e ⃗ I ( θ p + γ ) {{{\vec{e}}}_{I({{\theta }_{p}}+\gamma )}} eI(θp+γ)表示P点相对于B点的位移矢量,则机构的连杆曲线的矢量方程为:
R ⃗ P = a 1 e ⃗ I ( φ ) + r p e ⃗ I ( θ p + γ ) {{{\vec{R}}}_{P}}={{a}_{1}}{{{\vec{e}}}_{I(\varphi )}}+{{r}_{p}}{{{\vec{e}}}_{I({{\theta }_{p}}+\gamma )}} RP=a1eI(φ)+rpeI(θp+γ)
根据上述例子可见,采用圆矢量函数对平面曲线进行矢量表达,不但使得表达式简洁,更重要的是,由于圆矢量函数固有的性质,使得对平面曲线矢量方程的求导等计算更为简便。
微分几何学指出:曲线的不变量与所选择的坐标系无关,以弧长 s s s为例:是曲线的不变量,被称为曲线的自然参数,弧长 s s s在直角坐标系的表达式中建立与参数 t t t的关系为: d s = ∣ d R ⃗ ∣ = ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t , s = ∫ t a t b ∣ d R ⃗ d t ∣ d t ds=\left| d\vec{R} \right|=\sqrt{{{(\frac{dx}{dt})}^{2}}+{{(\frac{dy}{dt})}^{2}}}dt,s=\int_{{{t}_{a}}}^{{{t}_{b}}}{\left| \frac{d\vec{R}}{dt} \right|}dt ds=∣ ∣dR∣ ∣=(dtdx)2+(dtdy)2dt,s=∫tatb∣ ∣dtdR∣ ∣dt。若把曲线 Γ \Gamma Γ的矢量方程用弧长参数 s s s表示: Γ : R ⃗ = R ⃗ ( s ) , s a ≤ s ≤ s b \Gamma :\vec{R}=\vec{R}(s),{{s}_{a}}\le s\le {{s}_{b}} Γ:R=R(s),sa≤s≤sb。由于 d s = ∣ d R ⃗ ∣ ds=\left| d\vec{R} \right| ds=∣ ∣dR∣ ∣,即 ∣ d R ⃗ d s ∣ = 1 \left| \frac{d\vec{R}}{ds} \right|=1 ∣ ∣dsdR∣ ∣=1,若把曲线 Γ \Gamma Γ放在某点 s s s的邻域 Δ s \Delta s Δs内进行泰勒展开,则有: R ⃗ ( s + Δ s ) = R ⃗ ( s ) + d R ⃗ ( s ) d s Δ s + 1 2 ! d 2 R ⃗ ( s ) d s 2 ( Δ s ) 2 + . . . + 1 n ! d n R ⃗ ( s ) d s n ( Δ s ) n + ε n ( s , Δ s ) ( Δ s ) n \vec{R}(s+\Delta s)=\vec{R}(s)+\frac{d\vec{R}(s)}{ds}\Delta s+\frac{1}{2!}\frac{{{d}^{2}}\vec{R}(s)}{d{{s}^{2}}}{{(\Delta s)}^{2}}+...+\frac{1}{n!}\frac{{{d}^{n}}\vec{R}(s)}{d{{s}^{n}}}{{(\Delta s)}^{n}}+{{\varepsilon }_{n}}(s,\Delta s){{(\Delta s)}^{n}} R(s+Δs)=R(s)+dsdR(s)Δs+2!1ds2d2R(s)(Δs)2+...+n!1dsndnR(s)(Δs)n+εn(s,Δs)(Δs)n,其中: lim ε n ( s , Δ s ) = 0 \lim {{\varepsilon }_{n}}(s,\Delta s)=0 limεn(s,Δs)=0。
Frenet标架(也称活动标架)
。Frenet公式
,其中 k k k为平面曲线的曲率
)拐点
。曲率半径
(同样具有正负号): ρ = 1 k = d s d θ \rho =\frac{1}{k}=\frac{ds}{d\theta } ρ=k1=dθds。对于平面曲线上的点,若曲率半径 ρ ≠ 0 \rho \ne 0 ρ=0,则存在曲率中心,其矢量表达为 R ⃗ C = R ⃗ + ρ ⋅ β ⃗ {{{\vec{R}}}_{C}}=\vec{R}+\rho \cdot \vec{\beta } RC=R+ρ⋅β定理1.1 在区间 ( s a , s b ) ({{s}_{a}},{{s}_{b}}) (sa,sb)上任意给定一个连续函数 k ( s ) k(s) k(s),同时给定一个初始点(矢量) R ⃗ a {{{\vec{R}}}_{a}} Ra。以及单位矢量 α ⃗ a {{{\vec{\alpha }}}_{a}} αa。,则一定有且仅有一条以 s s s为弧长,以 k ( s ) k(s) k(s)为其曲率的平面有向曲线。
由于曲率 k k k是平面曲线的不变量,并且不依赖于所选定的坐标系,便能够唯一地确定平面曲线,因而将 k = k ( s ) k=k(s) k=k(s)称为平面曲线的自然方程
。平面曲线中,直线和圆是最常见的两种特殊曲线,前者的曲率为零,而后者的曲率则为常数。
若平面曲线上一点及其邻域内的曲率为常数,则该平面曲线在该点的局部范围内接近于圆曲线。通常地,两条曲线在某一点的接触阶数可以用来描述两条曲线在该接触点处的逼近程度。若两条平面曲线之间有两个无限接近位置的共同点,则这两条曲线相切接触,可称为一阶接触
。同理,若两条平面曲线之间在无限接近位置有n+1个共同点,则它们形成n阶接触
。因此,若一条平面曲线与一圆一阶接触,表明该圆相切于这条平面曲线;而若二阶接触,则它们在无限接近三个位置有共同点,称该圆为这条平面曲线的密切圆
,其半径恰为该平面曲线在接触点处曲率半径的绝对值,密切圆也称为曲率圆
。若平面曲线与圆三阶接触
,或者说它们在无限接近四个位置有共同点,该平面曲线在接触点处的曲率对弧长参数的一阶导数应为零,即 d k d s = 0 \frac{dk}{ds}=0 dsdk=0。类似地,若平面曲线与圆的接触阶数为n,则该平面曲线在接触点处曲率对弧长参数直至n-2阶导数均为零。
平面曲线 Γ \Gamma Γ上点P(对应的自然参数为 s s s)处密切圆的圆心矢径为:
Γ C : R ⃗ C = R ⃗ + 1 k β ⃗ {{\Gamma }_{C}}:{{\vec{R}}_{C}}=\vec{R}+\frac{1}{k}\vec{\beta } ΓC:RC=R+k1β
若曲线 Γ \Gamma Γ为一圆,则密切圆中心的曲线 Γ C {{\Gamma }_{C}} ΓC为一固定点,不随自然参数 s s s变化而变化,有 d R ⃗ C d s = d ( 1 / k ) d s β ⃗ = 0 \frac{d{{{\vec{R}}}_{C}}}{ds}=\frac{d(1/k)}{ds}\vec{\beta }=0 dsdRC=dsd(1/k)β=0,即 k k k为常数,曲率圆的半径为常数
直线可看作曲率半径趋于无穷大的圆,即 k = 0 k=0 k=0。当平面曲线在一点处与直线形成一阶接触,即该点邻域内无限接近位置两个点在一直线上,则直线即为曲线在该点的切矢所在直线;若曲线在一点处与直线形成二阶接触,则该点邻域内无限接近位置三个点在直线上,也就是曲线在该点的曲率为零,曲线出现拐点;若曲线在一点处与直线形成三阶接触,则该点邻域内无限接近位置四个点在直线上,则曲线在该点的曲率需同时满足 k = 0 k=0 k=0以及 d k d s = 0 \frac{dk}{ds}=0 dsdk=0
平面闭曲线
:首尾相接的平面曲线称为平面闭曲线,即 R ⃗ ( s a ) = R ⃗ ( s b ) \vec{R}({{s}_{a}})=\vec{R}({{s}_{b}}) R(sa)=R(sb);
平面简单闭曲线
:若平面闭曲线上无自交点,或者说无而充电,则为平面简单闭曲线;
平面凸闭曲线
:如果平面简单闭曲线上每处的切矢都在曲线正向的同一侧,则称该简单闭曲线为平面凸闭曲线。(也成为卵形线
)
定理1.2 一条平面简单闭曲线为凸闭曲线的充要条件是,适当地选择曲线的正向后,可使曲线上的各点的曲率 k ≥ 0 k\ge 0 k≥0。
如果一条凸闭曲线上各点处的曲率k不等于零,则为卵形线。
推论1 一条平面简单闭曲线,在其正向选定后,曲线上各点的曲率 k k k的符号不变,则该曲线必为卵形线
平面固定坐标系 { O : i ⃗ , j ⃗ } \{O:\vec{i},\vec{j}\} {O:i,j}中有一曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP,在曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP外一点 P ∗ P* P∗伴随着 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP上的点P运动,形成另一条平面曲线 Γ P ∗ {{\Gamma }_{P}}* ΓP∗,称曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP为原曲线
,曲线 Γ P ∗ {{\Gamma }_{P}}* ΓP∗为 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP的相伴曲线
。
在原曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP上建立Frenet标架 { R ⃗ P : α ⃗ , β ⃗ } \{{{{\vec{R}}}_{P}}:\vec{\alpha },\vec{\beta }\} {RP:α,β},则相伴曲线 Γ P ∗ {{\Gamma }_{P}}* ΓP∗的矢量方程为:
Γ P ∗ : R ⃗ P ∗ = R ⃗ P + u 1 α ⃗ + u 2 β ⃗ {{\Gamma }_{P}}*:{{{\vec{R}}}_{P}}*={{{\vec{R}}}_{P}}+{{u}_{1}}\vec{\alpha }+{{u}_{2}}\vec{\beta } ΓP∗:RP∗=RP+u1α+u2β
其中: ( u 1 , u 2 ) ({{u}_{1}},{{u}_{2}}) (u1,u2)为点 P ∗ P* P∗关于曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP上 P P P点处Frenet标架 { R ⃗ P : α ⃗ , β ⃗ } \{{{{\vec{R}}}_{P}}:\vec{\alpha },\vec{\beta }\} {RP:α,β}的相对坐标(参数)。对上式求导,可得:
{ d R ⃗ P ∗ d s = A 1 α ⃗ + A 2 β ⃗ A 1 = 1 + d u 1 d s − k u 2 A 2 = k u 1 + d u 2 d s \left\{ \begin{matrix} \frac{d{{{\vec{R}}}_{P}}*}{ds}={{A}_{1}}\vec{\alpha }+{{A}_{2}}\vec{\beta } \\ {{A}_{1}}=1+\frac{d{{u}_{1}}}{ds}-k{{u}_{2}} \\ {{A}_{2}}=k{{u}_{1}}+\frac{d{{u}_{2}}}{ds} \\ \end{matrix} \right. ⎩ ⎨ ⎧dsdRP∗=A1α+A2βA1=1+dsdu1−ku2A2=ku1+dsdu2
详细推导:
d R ⃗ P ∗ d s = d u 1 d s α ⃗ + u 1 d α ⃗ d s + d u 2 d s β ⃗ + u 2 d β ⃗ d s + d R ⃗ P d s = d u 1 d s α ⃗ + u 1 k β ⃗ + d u 2 d s β ⃗ + ( − u 2 k α ⃗ ) + α ⃗ \frac{d{{{\vec{R}}}_{P}}*}{ds}=\frac{d{{u}_{1}}}{ds}\vec{\alpha }+{{u}_{1}}\frac{d\vec{\alpha }}{ds}+\frac{d{{u}_{2}}}{ds}\vec{\beta }+{{u}_{2}}\frac{d\vec{\beta }}{ds}+\frac{d{{{\vec{R}}}_{P}}}{ds}=\frac{d{{u}_{1}}}{ds}\vec{\alpha }+{{u}_{1}}k\vec{\beta }+\frac{d{{u}_{2}}}{ds}\vec{\beta }+(-{{u}_{2}}k\vec{\alpha })+\vec{\alpha } dsdRP∗=dsdu1α+u1dsdα+dsdu2β+u2dsdβ+dsdRP=dsdu1α+u1kβ+dsdu2β+(−u2kα)+α
= ( 1 + d u 1 d s − k u 2 ) α ⃗ + ( k u 1 + d u 2 d s ) β ⃗ =(1+\frac{d{{u}_{1}}}{ds}-k{{u}_{2}})\vec{\alpha }+(k{{u}_{1}}+\frac{d{{u}_{2}}}{ds})\vec{\beta } =(1+dsdu1−ku2)α+(ku1+dsdu2)β
其中:
平面曲线的Cesaro不动点条件
,即在活动标架 { R ⃗ P : α ⃗ , β ⃗ } \{{{{\vec{R}}}_{P}}:\vec{\alpha },\vec{\beta }\} {RP:α,β}所描述的点在某一瞬时的固定平面上保持绝对静止的条件。反应了活动标架 { R ⃗ P : α ⃗ , β ⃗ } \{{{{\vec{R}}}_{P}}:\vec{\alpha },\vec{\beta }\} {RP:α,β}本身的运动与所描述点 P ∗ P* P∗相对活动标架运动的关系。平面固定坐标系 { O : i ⃗ , j ⃗ } \{O:\vec{i},\vec{j}\} {O:i,j}中,在曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP外一点 P ∗ P* P∗伴随着 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP上点 P P P运动的同时,过点 P ∗ P* P∗的 一条直线L也伴随着 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP上点 P P P运动,形成另一过平面曲线 Γ P ∗ {{\Gamma }_{P}}* ΓP∗上点的直线族 Γ l ∗ {{\Gamma }_{l}}* Γl∗,称曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP为原曲线, Γ l ∗ {{\Gamma }_{l}}* Γl∗为 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP的相伴直线族。
在原曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP上建立Frenet标架 { R ⃗ P : α ⃗ , β ⃗ } \{{{{\vec{R}}}_{P}}:\vec{\alpha },\vec{\beta }\} {RP:α,β},则相伴直线族 Γ l ∗ {{\Gamma }_{l}}* Γl∗的矢量方程为:
Γ l ∗ : R ⃗ l ∗ = R ⃗ P + u 1 α ⃗ + u 2 β ⃗ + λ ( l 1 α ⃗ + l 2 β ⃗ ) , l 1 2 + l 2 2 = 1 {{\Gamma }_{l}}*:{{{\vec{R}}}_{l}}*={{{\vec{R}}}_{P}}+{{u}_{1}}\vec{\alpha }+{{u}_{2}}\vec{\beta }+\lambda ({{l}_{1}}\vec{\alpha }+{{l}_{2}}\vec{\beta }),{{l}_{1}}^{2}+{{l}_{2}}^{2}=1 Γl∗:Rl∗=RP+u1α+u2β+λ(l1α+l2β),l12+l22=1
其中: λ \lambda λ为直线L的参数,而 l ⃗ {\vec{l}} l为直线的单位方向矢量,是原曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP弧长 s s s的函数。依据Frenet标架的微分运算公式,对上式求导,可得:
{ d R ⃗ l ∗ d s = A 1 α ⃗ + A 2 β ⃗ + λ ( B 1 α ⃗ + B 2 β ⃗ ) A 1 = 1 + d u 1 d s − k u 2 , A 2 = k u 1 + d u 2 d s B 1 = d l 1 d s − k l 2 , B 2 = k l 1 + d l 2 d s \left\{ \begin{matrix} \frac{d{{{\vec{R}}}_{l}}*}{ds}={{A}_{1}}\vec{\alpha }+{{A}_{2}}\vec{\beta }+\lambda ({{B}_{1}}\vec{\alpha }+{{B}_{2}}\vec{\beta }) \\ {{A}_{1}}=1+\frac{d{{u}_{1}}}{ds}-k{{u}_{2}},{{A}_{2}}=k{{u}_{1}}+\frac{d{{u}_{2}}}{ds} \\ {{B}_{1}}=\frac{d{{l}_{1}}}{ds}-k{{l}_{2}},{{B}_{2}}=k{{l}_{1}}+\frac{d{{l}_{2}}}{ds} \\ \end{matrix} \right. ⎩ ⎨ ⎧dsdRl∗=A1α+A2β+λ(B1α+B2β)A1=1+dsdu1−ku2,A2=ku1+dsdu2B1=dsdl1−kl2,B2=kl1+dsdl2
绝对不动直线
:准不动直线
:例1.4: 平面机构连杆曲线的相伴表示
连杆平面上任意点 P P P的运动可看做连杆上铰链点 B B B的相伴运动,相伴运动仅为(连杆)相对(连架杆)转动——即连杆平面上极坐标为 ( r p , θ p ) ({{r}_{p}},{{\theta }_{p}}) (rp,θp)的连杆点 P P P的轨迹曲线 Γ p {{\Gamma }_{p}} Γp是以 Γ B {{\Gamma }_{B}} ΓB为原曲线的相伴曲线,其方程为:
R ⃗ p = R ⃗ B + u 1 α ⃗ + u 2 β ⃗ = u 1 α ⃗ + ( u 2 − a 1 ) β ⃗ {{{\vec{R}}}_{p}}={{{\vec{R}}}_{B}}+{{u}_{1}}\vec{\alpha }+{{u}_{2}}\vec{\beta }={{u}_{1}}\vec{\alpha }+({{u}_{2}}-{{a}_{1}})\vec{\beta } Rp=RB+u1α+u2β=u1α+(u2−a1)β
其中: { u 1 = r p sin ( θ p − φ + γ ) u 2 = − r p cos ( θ p − φ + γ ) \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}={{r}_{p}}\sin ({{\theta }_{p}}-\varphi +\gamma ) \\ {{u}_{2}}=-{{r}_{p}}\cos ({{\theta }_{p}}-\varphi +\gamma ) \\ \end{matrix} \right. {u1=rpsin(θp−φ+γ)u2=−rpcos(θp−φ+γ)(角度逆时针为正)