浙大数据结构第七周之07-图4 哈利·波特的考试

基础知识：（最短路的前提都是在图中两条边之间的权值非定值）

（一）Dijkstra方法

算法实现：                                                                                                                                         

dist[v]：表示从起点s到当前点v最短路径的长度

path[w]:表示到w顶点的上一个父顶点

（1）假设用带权的邻接矩阵G表示有向图，先初始化该邻接矩阵，其中与起点s之间有边的顶点i的G[s][i]初始化为权值，无边初始化为最初设定好的最大值INFINITY，path先全部初始化为-1

（2）将起点s加入集合S（S表示存放已找到最短路径的顶点）后，在T（T = V（V表示全体顶点）- S）里找与s之间距离最小的顶点v，将其加入S，标准是该顶点之前没有访问过（用一个作为全局变量的数组collect来记录是否访问过）且在集合T中与起点s之间加权距离最短

（3）加入v后，遍历整个图，寻找v的邻接点，如果w是v的邻接点且没有加入集合S，判断是否要修改dist[w]，修改的标准是将原先从起点s不经过v到w的路径长度与从s经过v到w的路径长度比较，如果从s经过v到w的路径长度更小，就要更新dist[w]，同时也要更新path[w]为v

c语言代码实现

/* 邻接矩阵存储 - 有权图的单源最短路算法 */

Vertex FindMinDist( MGraph Graph, int dist[], int collected[] )
{ /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */
    Vertex MinV, V;
    int MinDist = INFINITY;

    for (V=0; VNv; V++) {
        if ( collected[V]==false && dist[V]Nv; V++ ) {
        dist[V] = Graph->G[S][V];
        if ( dist[V]Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
            /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */
            if ( collected[W]==false && Graph->G[V][W]G[V][W]<0 ) /* 若有负边 */
                    return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */
                /* 若收录V使得dist[W]变小 */
                if ( dist[V]+Graph->G[V][W] < dist[W] ) {
                    dist[W] = dist[V]+Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */
                    path[W] = V; /* 更新S到W的路径 */
                }
            }
    } /* while结束*/
    return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */
}

 二）Floyd算法：针对每一对顶点之间最短路径

Floyd算法怎么说呢，有点只可意会不可言传（可能我还没理解透），这篇文章写得挺好的

我的理解是最外层循环是中转点，中间一层循环是起点，最里面一层循环是终点，每次不断比较从起点不经过中转点到终点与从起点经过中转点到终点的路径，取最小值，并更改path对应的父顶点

/* 邻接矩阵存储 - 多源最短路算法 */

bool Floyd( MGraph Graph, WeightType D[][MaxVertexNum], Vertex path[][MaxVertexNum] )
{
    Vertex i, j, k;

    /* 初始化 */
    for ( i=0; iNv; i++ )
        for( j=0; jNv; j++ ) {
            D[i][j] = Graph->G[i][j];
            path[i][j] = -1;
        }

    for( k=0; kNv; k++ )（中转点）
        for( i=0; iNv; i++ )（起点）
            for( j=0; jNv; j++ )（终点）
                if( D[i][k] + D[k][j] < D[i][j] ) {
                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
                    if ( i==j && D[i][j]<0 ) /* 若发现负值圈 */
                        return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */
                    path[i][j] = k;
                }
    return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */
}

Floyd算法好写（死记硬背）doge~但理解还是有点难度） 

题目详情：

哈利·波特要考试了，他需要你的帮助。这门课学的是用魔咒将一种动物变成另一种动物的本事。例如将猫变成老鼠的魔咒是haha，将老鼠变成鱼的魔咒是hehe等等。反方向变化的魔咒就是简单地将原来的魔咒倒过来念，例如ahah可以将老鼠变成猫。另外，如果想把猫变成鱼，可以通过念一个直接魔咒lalala，也可以将猫变老鼠、老鼠变鱼的魔咒连起来念：hahahehe。

现在哈利·波特的手里有一本教材，里面列出了所有的变形魔咒和能变的动物。老师允许他自己带一只动物去考场，要考察他把这只动物变成任意一只指定动物的本事。于是他来问你：带什么动物去可以让最难变的那种动物（即该动物变为哈利·波特自己带去的动物所需要的魔咒最长）需要的魔咒最短？例如：如果只有猫、鼠、鱼，则显然哈利·波特应该带鼠去，因为鼠变成另外两种动物都只需要念4个字符；而如果带猫去，则至少需要念6个字符才能把猫变成鱼；同理，带鱼去也不是最好的选择。

输入格式:

输入说明：输入第1行给出两个正整数N (≤100)和M，其中N是考试涉及的动物总数，M是用于直接变形的魔咒条数。为简单起见，我们将动物按1~N编号。随后M行，每行给出了3个正整数，分别是两种动物的编号、以及它们之间变形需要的魔咒的长度(≤100)，数字之间用空格分隔。

输出格式:

输出哈利·波特应该带去考场的动物的编号、以及最长的变形魔咒的长度，中间以空格分隔。如果只带1只动物是不可能完成所有变形要求的，则输出0。如果有若干只动物都可以备选，则输出编号最小的那只。

输入样例:

6 11
3 4 70
1 2 1
5 4 50
2 6 50
5 6 60
1 3 70
4 6 60
3 6 80
5 1 100
2 4 60
5 2 80

输出样例:

4 70

主要思路：

题目要求找出任意两顶点之间最短路径，所以用Floyd算法

首先代码整体分为两部分：（1)读入图 （2）寻找动物

读入图就是前面常规

寻找动物是首先用Floyd求出任意两顶点之间最短路径，然后以各顶点为起点求出到其他顶点距离最大值，再在这些最大值里挑一个最小值，即是所要带的动物

第一次写错误：

（1）注意动物是从1开始标号的，所以在处理下标时要分两种情况，初始化的范围是从[0,vertexnums], 实际操作是[1, vertexnums]

（2）判断动物时如果找到的最大值就是默认的INFINITY，说明这个图里面存在不止一个连通集，输出0

代码实现：

#include 
#include 
#define MAX_NODE_NUMS 105
#define FALSE 0
#define TRUE 1
#define NONE -1
#define INFINITY 1000
typedef int bool;
typedef struct MatrixGraphNode MatrixGraphNode;
typedef MatrixGraphNode* MGraph;
struct MatrixGraphNode {
    int VertexNums, EdgeNums;
    int Weight[MAX_NODE_NUMS][MAX_NODE_NUMS];
};
MGraph CreateEmptyGraph(int vertexNums, int edgeNums) {
    MGraph graph = (MGraph)malloc(sizeof(MatrixGraphNode));
    graph->VertexNums = vertexNums;
    graph->EdgeNums = edgeNums;
    for(int i = 0; i <= vertexNums; i++) {
        for(int j = 0; j <= vertexNums; j++) {
            graph->Weight[i][j] = NONE;
        }
    }
    return graph;
}
void InsertEdge(int start, int end, int weight, MGraph graph) {
    graph->Weight[start][end] = weight;
    graph->Weight[end][start] = weight;
    return;
}
MGraph BuildGraph(int vertexNums, int edgeNums) {
    MGraph graph = CreateEmptyGraph(vertexNums, edgeNums);
    for(int i = 0; i < edgeNums; i++) {
        int start, end, weight;
        scanf("%d %d %d", &start, &end, &weight);
        InsertEdge(start, end, weight, graph);
    }
    return graph;
}
void Floyd(int dis[][MAX_NODE_NUMS], MGraph graph) {
    for(int i = 1; i <= graph->VertexNums; i++) {
        for(int j = 1; j <= graph->VertexNums; j++) {
            if(i == j) {
                dis[i][j] = FALSE;
            }
            else if(graph->Weight[i][j] != NONE){
                dis[i][j] = graph->Weight[i][j];
            }
            else if(graph->Weight[i][j] == NONE) {
                dis[i][j] = INFINITY;
            }
        }
    }

    for(int i = 1; i <= graph->VertexNums; i++) {
        for(int j = 1; j <= graph->VertexNums; j++) {
            for(int k = 1; k <= graph->VertexNums; k++) {
                if(dis[j][k] > dis[j][i] + dis[i][k]) {
                    dis[j][k] = dis[j][i] + dis[i][k];
                }
            }
        }
    }
}
int FindLongestDistance(int dis[][MAX_NODE_NUMS], int start, int vertexNums) {
    int ret = FALSE;
    for(int i = 1; i <= vertexNums; i++) {
        if(i != start && dis[start][i] > ret) {
            ret = dis[start][i];
        }
    }
    return ret;
}
void FindAnimal(MGraph graph) {
    int dis[MAX_NODE_NUMS][MAX_NODE_NUMS];
    Floyd(dis, graph);
    int animal = FALSE;
    int longestDistance = FALSE;
    int minInLongestDistance = INFINITY;
    for(int i = 1; i <= graph->VertexNums; i++) {
        longestDistance = FindLongestDistance(dis, i, graph->VertexNums);
        if(longestDistance == INFINITY) {
            printf("%d", FALSE);
            return;
        }
        else {
            if(longestDistance < minInLongestDistance) {
                animal = i;
                minInLongestDistance = longestDistance;
            }
        }
    }
    printf("%d %d", animal, minInLongestDistance);
    return;
}
int main() {
    int vertexNums, edgeNums;
    scanf("%d %d", &vertexNums, &edgeNums);
    MGraph graph = BuildGraph(vertexNums, edgeNums);
    FindAnimal(graph);
    free(graph);
    return 0;
}