从零实战SLAM-第二课（SLAM中的基础数学）

 在七月算法报的班，老师讲的蛮好。好记性不如烂笔头，关键内容还是记录一下吧，课程入口，感兴趣的同学可以学习一下。

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空间数据的表达方式：点和向量两种形式。

向量的内积，也叫做点乘，是逐点相乘后累加，最终结果是一个标量，物理意义是一个向量在另一个向量上的投影。

外积，也叫做叉乘，两个向量拼起来成，结果是一个矩阵，物理意义是旋转。

向量旋转

向量旋转可以由旋转轴向量加角度表示，一般采用右手坐标系。

a到b的旋转可以由向量w来描述

坐标系的变换包括平移和旋转，平移是对原点的平移，旋转是绕着三个轴旋转。

刚体运动：在三维空间中，把一个几何不变物体作旋转、平移的运动叫刚体运动。

刚体运动包括平移T和旋转R。

坐标系发生旋转，原坐标系下向量的值，按下面的方式进行变换。

这个矩阵一般叫旋转矩阵R，其必要条件是行列式为1的正交矩阵。

SO(n) 是特殊正交群：Special Orthogonal Group

旋转矩阵为正交阵，它的逆（即转置）描述了一个相反的旋转

旋转平移矩阵

世界坐标系中的向量a，经过一次旋转(R)和平移(t)后，得到了a':

′= +  这里的t为平移向量。

将平移向量放进 矩阵运算中，则原向量变成齐次向量，矩阵变成了变换矩阵。

特殊欧式群：变换矩阵具有如下的特性。

罗德里格公式：

假设有一个旋转轴为n，角度为θ的旋转，显然，它对应的旋转向量为θn。

从一个旋转矩阵到旋转向量的转换。对于转角θ：

欧拉角：

用三个角度描述一个刚体在三维空间中的姿态，偏航-俯仰-滚转： yaw-roll-pitch → z-x-y。

欧拉角的缺点：万向锁。

当某一个轴旋转90°，有两个轴的对应平面重合，则此情况下两个旋转的效果是一样的，这种情况叫做万向锁。

为了避免万向锁对旋转计算的影响，SLAM中一般使用四元数来提起欧拉角描述旋转，当然本质是一样的。

一个四元数q 拥有一个实部和三个虚部:

三个虚部之间的运算关系：

也可以用一个标量和一个向量来表达四元数:

四元数的四则运算：

设 = [, ] , = [, ]，则

四元数的共轭，

设 = [, ] = + + + k，则

四元数的模长

四元数的逆

四元数与旋转之间的计算关系：

三维空间的单位向量 = [, , ]',某个旋转是绕单位向量进行了角度为的旋转,该旋转的四元数形式为：

四元素如何用于计算旋转