高中奥数 2021-09-11

2021-09-11-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P040 例7）

如图,、分别为锐角的外接圆上弧、弧的中点.过点作交圆于点,为的内心连结并延长交圆于.

(1)求证:;

(2)在弧(不含点)上任取一点,记、的内心分别为、.求证:、、、四点共圆.(2009年全国高中数学联赛)

图1

证明

图2

(1)等腰梯形,连结、、、、,为内心,故延长线过中点,于是

故,又为等腰梯形,有,于是,同理可证.

由此可得四边形为平行四边形,即平分.

所以平分线段,,又与互补,于是.

(2)易知、、共线;、、共线,连结、、、,首先证明,这由于.

,,,由此可得,从而有.

于是,、、、四点共圆.

注

如图,为内心,与外接圆交于,则,这是内心的重要性质,也称“鸡爪定理”.

图3

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2021-09-11-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P041 例8）

设在的边上,延长至使,延长至使.设的外心为,则.

证明

如图,作外接圆,设,,则,.

图4

从而.

所以、、三点共线.

对、、、、、使用帕斯卡定理知,表示过的圆的切线,,,则、、三点共线.

从而过的切线、、交于点.

由知、、、共圆.

从而,即.

注

此题用到了帕斯卡定理:

对圆内接六边形,设,,,则、、三点共线.

图5