知识点1：整除法
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方法描述
整除法主要通过题干所给的信息，判断结果应具备的整数特性，从而排除选项。如：已知甲乙两个班的人数之比为 3:5 ，……，求甲班人数。根据题干中的比例，可知甲班的人数一定是 3 的倍数，结合选项，可优先排除不是 3 的倍数的选项。
适用题型
- 平均分配物品
- 三量关系
- 常用数字的整除判定
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局部看
①一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； ②一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； ③一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除。 -
整体看
①一个数各位数字之和能被 3 或 9 整除，这个数就能被 3 或 9 整除。 ②如果一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除。（适用于四位数或者四位以上的大数字） ③奇数位上数字和与偶数位上数字和之差能被 11 整除的数能被 11 整除。
- 其他合数
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可质因数分解合数
将该合数进行因式分解，能同时被分解之后的互质因数整除。如 ，3 和 4 没有公约数，互质，则能被 3 和 4 整除的数都能被 12 整除。
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拆分法
要验证一个数是否为 m 的整数倍，只需将该数分解为 m 的若干倍 较小数 n。若 n 能被 m 整除，则该数能被 m 整除。例如：683 能否被 13 整除。。33 不能被 13 整除，故 683 不能被 13 整除。
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举个栗子
例1：某公司研发出了一款新产品，当每件新产品的售价为3000元时，恰好能售出15万件。若新产品的售价每增加200元时，就要少售出1万件。如果该公司仅售出12万件新产品，那么该公司新产品的销售总额为：
A.4.72亿元 B.4.46亿元 C.4.64亿元 D.4.32亿元
【解析】方法一：整数特性：。由于销量等于 12 万件，单价等于 也为整数。故销售额为 12 的倍数，则选项能同时整除 3 和 4 即为正确答案。A 选项不能整除 3。B 选项不能整除 3，C 选项也不能整除 3。故选 D。
方法二：普通计算。单价等于 。 亿元。
知识点2：余数型
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方法描述
如果 ，那么 能被 整除。（、 均为整数）。
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适用场景
余数类问题：题干含有“剩”、“余”和“缺”等关键字。
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举个栗子
例1：
知识点3：比例计算
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方法描述
如果 (m 与 n 互质)。那么 A 是 m 的倍数；B 是 n 的倍数； 是 的倍数； 是 的倍数。
比例常见形式
- 分数：男生人数是女生的 。
- 百分数：男生人数是女生人数的 60%。
- 比例：男生人数与女生人数的比例是 3：5。
- 倍数：男生人数是女生人数的 0.6 倍。
- 相关知识
- 若某个量占其他量总和的 ，则该量占总量的 。
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举个栗子
例1：（2020 上海）甲乙丙丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人总和的一半，乙带的钱是另外三个人的 ，丙带的钱是另外三个人的 ，丁带了91元，他们一共带了（ ）元。
A.364 B.380 C.420 D.495
【解析】注：一定要注意求的是甲乙丙占总钱数的比例。 甲的钱占总数的 ，乙的钱占总数的 ，丙带的钱是总数的 。故钱总数能被 3、4 和 5 整除。选择 C。例2：（2019 青海）林华全家是阅读爱好者，家里有各种书籍，版本也多。已知他家有五分之三的书是中文版的，六分之一是英文版的，八分之一是中英文互译版的，还有多于11本但少于17本是其它版本的，问他家有多少本英文版书？
A.72 B.20 C.15 D.13
【解析】已知总书数是 5、6、8 的公倍数，使用代入排除法：选项A 选项B 选项C 选项D 书总数 5、6和8的公倍数 × ✓ × × 例3：调酒师调配鸡尾酒，先在调酒杯中倒入120毫升柠檬汁，再用伏特加补满，摇匀后倒出80毫升混合液备用，再往杯中加满番茄汁并摇匀，一杯鸡尾酒就调好了。若此时鸡尾酒中伏特加的比例是 24%，则调酒杯的容量是（）毫升。
A.160 B.180 C.200 D.220
【解析】方法一：根据 。有 。故杯容量为 25 的倍数，只有 C 选项符合。
方法二：设调酒杯的容量为 毫升。有 。解或者代入选项可知选项 C 正确。例3：（2018 国考）某公司按1:3:4的比例订购了一批红色、蓝色、黑色的签字笔，实际使用时发现三种颜色的笔消耗比例为1:4:5。当某种颜色的签字笔用完时，发现另两种颜色的签字笔共剩下100盒。此时又购进三种颜色签字笔总共900盒，从而使三种颜色的签字笔可以同时用完。问新购进黑色签字笔多少盒？
A.450
B.425
C.500
D.475
【解析】方法一：先明确红蓝黑三种笔那种先用完。在购买的笔中红色笔占 大于实际消耗的 ，黑色笔购买 等于实际消耗的 。只有蓝色笔实际购买小于消耗。故蓝色笔先用完。设实际购买一份为 ，实际消耗一份为 。则有： 解得 ，，故红笔剩 ，黑笔剩 。购买 900 盒后共有 1000 盒，此时要全部用完黑笔有 ，由于还剩黑笔 50 盒，故新购 。选 A。
方法二，由方法一知蓝笔先用完。就说明存在一个比例，使购进的蓝笔数与消耗的蓝笔数相同，这个时候的比例就为实际购入与实际消耗的数量比。等比例缩小到蓝色购进与蓝色消耗相同的最小公因数时，购入份数与消耗份数相同。取 3 和 4 的最小公倍数 12。实际购入比例为 4：12：16。实际消耗为 3：12：15。设每份为 ，此时红笔剩余与黑笔剩余比为 1：1。即 。则红笔和黑笔各 50，总数 1000，则黑应有 500，减去剩余的 50，为450。
知识点4：赋值法
- 适用范围
- 给比例（百分数、倍数、分数），求比例的和差倍比问题
- ，至多给一个（为具体量，比值不算具体量）
- 工程问题：
- 行程问题：
- 溶液问题：
- 经济利润：
- 平均数问题：
- 赋值方法
- 给比例型
- 信息量最大化——赋值高频词
- 方便计算
- 型
- 赋值数量：①给一个，赋一个；②都没给，赋一个，设一个为 X。
- 赋值对象：①没有限制，赋不变量；②有限制，赋限制量。
- 赋值三步走：①定三量；②看给啥；③再赋值。
-
举个栗子
例1：（2018 联考吉林）某仓库存放三个厂家生产的同一品牌洗衣液，其中甲厂生产的占 20%，乙厂生产的占 30%，剩余为丙厂生产的，且三个厂家的次品率分别为 1%，2%，3%，则从仓库中随机取出一件是次品的概率为：
A.1.6% B.1.3% C.1% D.2%
【解析】题干全是比例，故使用赋值法。赋总量为 1000，则甲有 2 件次品，乙有 6 件次品，丙有 5 件次品。故随机取出一件是次品的概率为 。故选择 B。例2：某单位男女员工的人数之比是15:13。按人数之比5:7:8，分为甲、乙、丙三个科室，其中甲科室男女员工的人数之比为4:3，乙科室为5:2。则丙科室男女员工人数之比为：
A.1：2 B.2：3 C.5：9 D.5：8
【解析】给比例求比例，使用赋值法。因为男女人数之比为 15:13，则总人数为 28 的倍数。又因为将总人数按 5:7:8 分给三个科室，则总人数还为 20 的倍数。赋值总人数为 28 与 20 的最小公倍数 140。则男生有 75 人，女生有 65 人，甲科室有 35 人，乙科室有 49 人，丙科室有 56 人。甲科室男女人数分别为 20 和 15 人，乙科室男女人数分别为 35 和 14 人，则丙科室男女人数分别为 75-20-35=20 和 65-15-14=36 人。则男女比为 5:9。故选择 C 项。例3：浓度为15%的盐水若干克，加入一些水后浓度变为10%，再加入同样多的水后，浓度为多少：
A.9% B.7.5% C.6% D.4.5%
【解析】溶液问题：。只有一个具体量且无限制，固定量为溶质质量。设溶质质量为 15 和 10 的最小公倍数 30。则第一次溶液质量为 ，第二次溶液质量为 。故加水为 ，再加入同样多的水后溶液质量为 ，浓度为 。故 浓度为7.5%，选择 B。例4：甲、乙、丙和丁四辆载重不同的卡车运输一批货物。其中甲的载重是乙的2倍、是丙的3倍、是丁的1.5倍。如果甲和丁一起运货，各跑10次正好能运完所有货物。如果乙和丙一起运货，且乙每小时运一趟、丙每半小时运一趟，问需要多少小时才能运完所有货物？
A.14 B.14.5 C.15 D.15.5
【解析】，知道具体值次数为 10，载重量为限制值，赋值限制量。故赋值甲的载重量为 2、3 和 1.5 的最小公倍数 6。则乙的载重量为 3，丙的载重量为 2，丁的载重量为 4。则货物重量为 。现在由乙和丙一起运且每小时运货量为 ，则需要 ，而丙半小时的运货量恰好为 2。故需要 14.5 小时，选择 B。例5：（2017 国考）某商铺甲、乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组单独制作需要10小时，乙组单独制作需要15小时，现两组一起做，期间乙组休息了1小时40分，完成时甲组比乙组多做300朵。问这批花有多少朵？
A.600 B.900 C.1350 D.1500
【解析】给定完工时间型工程问题。设工程总量为 15 和 10 的最小公倍数 30。则甲的效率为 3，乙的效率为 2。则有 → 。则甲做了 20 朵，乙做了 10 朵，则甲比乙多做 10 朵对应题干 300。则一份为 30，故总量为 。故选择 B。例6：（2015 山东省）商场里某商品成本上涨了20%，售价只上涨了10%，毛利率（利润/进货价）比以前下降了10个百分点。问原来的毛利率是多少？
A.10% B.20% C.30% D.40%
【解析】三量关系一个都没给，则赋值一个，设一个为未知数，有：成本 售价 利润 利润率 现在 120 1.1x 1.1x-120 原来 100 x x-100 则有： → 。则原来的利润为 ，故选择 B。
知识点5：代入排除法
- 适用场景
- 特定题型：年龄问题、余数问题（题干含有“剩”、“余”和“缺”等关键字）、不定方程、多位数
- 选项信息充分（分别/各）：选项为一组数
- 选项剩二选一：排除后只剩两项代入验证
- 使用方法
- 先排除：奇偶性、倍数特性、尾数
- 再代入：最值原则、好算原则
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举个栗子
例1：（2018 浙江）已知今年小明父母的年龄之和为76岁，小明和他弟弟的年龄之和为18岁。三年后，母亲的年龄是小明的三倍，父亲的年龄是小明弟弟的四倍。问小明今年几岁？
A.11 B.12 C.13 D.14
【解析】方法一：设三年后小明的年龄为 ，弟弟的为 ，则有：。由 可知， 为 2 的倍数，故 x 为偶数。由于 是小明三年后的年龄，故正确选项应为奇数。排除 B、D 选项，若正确选项为 A，则有 满足条件。故选A。
方法二：表格法代入排除：| | 小明 | 弟弟 | 母亲 | 父亲|父亲与母亲年龄和|
|---|---|---|---|
|今年|11|18-11=7| | | |
|三年后|14|10|||42+40=82|
故代入 A 选项满足题干，选择 A。
方法三：方程法：设今年小明的年龄为 ，弟弟的为 ，得出下列方程并求解： 解得：例2：（2019深圳）某公司组织所有员工分乘一批大巴去旅游，要求每辆大巴乘坐员工人数不超过35人。若每车坐28人，则有1人坐不上车；若开走1辆空车，则所有员工恰好可平均分乘到各车。该公司共有员工（ ）人。
A.281 B.589 C.841 D.981
【解析】代入排除法：公司总人数 281 589 841 981 10 21 30 35 平均分乘车辆=总车辆-1 9 20 29 34 能否被整除 × × ✓ × 故选 C。
例3：某食品厂速冻饺子的包装有大盒和小盒两种规格，现生产了11000只饺子，恰好装满100个大盒和200个小盒。若3个大盒与5个小盒装的饺子数量相等，则每个小盒与每个大盒装入的饺子数量分别是：
A.24只 40只 B.30只 50只 C.36只 60只 D.27只 45只
【解析】方法一：不定方程法：设小盒装 ，大盒装 。则有 。化简有 。 为偶数，排除选项 D。由于A、B和 C 选项中大盒尾数均为 0。故小盒尾数也为 0。则只有 B 项满足。
方法二：直接代入排除，以 A 、B 项为例 不满足。 满足选择 B 项。
知识点6：普通方程法
- 解题步骤
- 找等量关系：和、差、倍、比
- 设未知数：①设小不设大（减少分数计算）；②设中间量（方便列式）；③同等条件下，问谁设谁（避免陷阱坑）；④出现比例设份数（减少分数计算）。
- 列方程
- 解方程
- 举个栗子
知识点7：十字交叉法（线段法）
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特征
十字交叉法解决的是比值混合问题，比值指的是 （如平均数、利润率和浓度等），混合指的是分子分母可加和。部分比值 、。整体比值为 。
十字交叉解题步骤
找出各部分比值 a、b 和整体比值 r；
各部分比值与总体比值交叉作差分别得到 ，。
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利用比例关系求解：。
十字交叉图如下：
其中比值 a 对应的实际量是 A。实际量对应的部分比值实际意义的分母，如 ，那么实际量对应的就是溶液的质量；，则实际量对应的就是人数。
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线段法解题步骤
- 混合之前写两边，混合之后写中间。
- 距离和量成反比，看好份数认真算。
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适用类型
- 平均数
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举个栗子
例1：（2013 浙江）某商店的两件商品成本价相同，一件按成本价多25%出售，一件按成本价少13%出售，则两件商品各售出一件时盈利为多少?
A.6% B.8% C.10% D.12%
【解析】方法一：十字交叉法。设两件商品各售出一件时盈利为 ，两件商品的成本相同，则成本之比为 1。有 → ，选择 A。
方法二：线段法。一件利润率为 ，另一件利润率为 。则各售出一件时利润率在 到 之间。成本之比为 ，故距离之比为 。故在 与 的中点处。为 ，选择 A。
方法三：赋值法。给比例求比例，假设成本为 100，一件盈利为 25，一件亏 13。两件共盈利 12。成本为 200，利润率为 ，选择 A。例2：（2014 联考）学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个80元和100元。由于购买数量较多，商店分别给予足球25%、篮球20%的折扣，结果共少付了22%。问购买的足球和篮球的数量之比是多少：
A.4：5 B.5：6 C.6：5 D.5：4
【解析】线段法：，假设足球买了 个，篮球买了 个。则有总原价之比为距离的反比 ，解得，选择 B。例3：（2016 联考）某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的 30%，且音乐系男女生人数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3。问音乐系和美术系的总人数比为多少？
A.2：1 B.1：2 C.2：3 D.3：2
【解析】音乐系男生占比 25%，美术系男生占比 40%，混合之后男生占比 30%。则距离之比等于各部分总量的反比，，选择 A。例4：（2018 江苏）某高校组织省大学生运动会预选赛，报名选手中男女人数之比为4：3，赛后有91人入选，其中男女之比为8：5。已知落选选手中男女之比为3：4，则报名选手共有：
A.98 人 B.105 人 C.119 人 D.126 人
【解析】落选与入选混合之后为总人数，入选男生占比为 ，落选男生占比为 ，混合后男生占比为 ，设落选总人数为 ，有 → ，故总人数为 ，选择 C。
1：1等量混合
例5：（2018 国考）甲商店购入400件同款夏装。7月以进价的1.6倍出售，共售出200件；8月以进价的1.3倍出售，共售出100件；9月以进价的0.7倍将剩余的100件全部售出，总共获利15000元。问这批夏装的单件进价为多少元？
A.125 B.144 C.100 D.120
【解析】8 月与 9 月总成本相同，利润分别为 30% 和 -30%，等量混合之后利润为 ，故 8 月和 9 月没有盈利。再将 8 月 9 月的混合与 7 月混合，总成本均为 200 件的价格，故利润为 ，设总成本为 ，有 → ，单件成本为 ，选择 A。
混合居中
例6：（2017 联考）甲乙两队举行智力抢答比赛，两队平均得分为92分，其中甲队平均得分为88分，乙队平均得分为94分，则甲乙两队人数之和可能是:
A.20 B.21 C.23 D.25
【解析】甲乙人数之比为 1：2，则甲乙总人数为 3 的倍数，仅有 B 项满足。
知识点8：余数类问题
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题型特征
出现 “剩”、“余” 或 “缺” 等关键词。
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解题方法
使用代入排除法。满足题干所有条件的为正确选项，存在至少一个条件不满足的选项为错误选项。
举个栗子
知识点9：鸡兔同笼类问题
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题型特征
已知两个主体的两个属性的指标数及指标总数，求两个主体的个数。如：有若干只鸡和兔子，他们共有 35 个头，94 只脚，鸡和兔子各有多少只？两个主体是指鸡和兔子；两个属性是指头和脚；指标数：一只鸡有一个头和两只脚，一只兔子有一个头和四只脚；指标总数：共有 35 个头、94 只脚。
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解题方法
利用假设法求解，假设全是 A，求得结果 B。对于上述问题有如下解法：
假设全部为鸡，则应该只有 只脚，然而实际有 94 只，则剩余的 只脚为将兔子算为两只脚差的数量。则共有 只兔子，则鸡为 只。同理假设全为兔子，有 只脚，超出的为多算鸡的脚为 只。则鸡为 只，兔子为 只。 -
举个栗子
例1：（2008年国考）某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件支付工资，工人每做出一个合格零件能得到工资 10 元，每做一个不合格零件将被扣除 5 元，已知某人一天共做了12个零件，得工资90元，那么他在这一天做了多少个不合格零件：
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】假设 12 个零件全为合格零件，共得 元。差 元。而不合格一个零件，少得合格的 10 元以及扣款 5 元共 15 元，故不合格的有 个。
知识点10：等差数列
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定义
从第二项起，每一项与前一项之差为一个常数，这样的数列称为等差数列，这个数称为公差，记为 d。
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公式
记第一项为 ，第 n 项为 ，第 m 项为 ，则有：
- 通项公式：，。
- 求和公式：
举个栗子
知识点11：等比数列
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定义
从第二项起，每一项与前一项之比为一个常数，这样的数列称为等比数列，这个常数称为公比，记为 q。
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公式
记第一项为 ，第 n 项为 ，第 m 项为 ，则有：
- 通项公式：
- 求和公式：（）
举个栗子
知识点12：不定方程
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概念
未知数的个数多于独立方程的个数。
解方程技巧
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数的特性
① 整除关系： 若方程中的未知量系数和常数均是某个数的倍数，则可通过整除关系求解。如：求 的正整数解。 和 21 都是 3 的倍数，则 也一定能被 3 整除，因为 5 不能被 3 整除，故 能被 3 整除，即 可取 3，对应的 y 取 1。换项有 ，故 能被 3 整除。
② 奇偶性： 求 的正整数解。 为偶数，21 为奇数，则 一定是奇数，则 可取 1、3，从而求出 y 的值。
③ 尾数法： 未知量前的系数是以 0 或 5 结尾的数时可以使用。如：求 的正整数解。 的尾数只能为 0 或 5，故 的尾数必须为 1 或 6。又因为 为偶数，故尾数不可能为 1。所以 的尾数只能为 6，则 可取 1， 为 3。 -
代入排除
直接将选项代入题干，看那个选项符合题干要求。
- 不定方程组
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未知数一定是整数的不定方程组
先消元转化为不定方程，按照不定方程求解。
未知数不一定为整数的不定方程组
根据题意能列出三元一次方程组，而此时两个方程三个未知数，意外着方程组有无穷组解。题目没有要求我们求具体的解，而是求未知数之和，也就是说虽然有无穷组解，但每组解的未知数之和是确定的。所以此时我们只需求出无穷组解的某一组求和就能得到答案。最简单的就是令其中一个未知量为 0 进行求解。
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举个栗子
例1：（2013山东）某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，某部门所有人员共捐款320元。已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部门领导？
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】设领导有 人，员工有 人，则有 ，化简得 ，根据整除关系可知 能被 2 整除，故 为偶数，排除 A、C 选项，代入 D 项，领导 4 人，则员工 6 人。一共 10 人，不满足该部门总人数超过 10 人。故领导为 2 人。
知识点13：牛吃草类问题
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问题描述
牛吃草问题又称牛顿问题，因由牛顿提出而得名。题目大意为：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给 10 头牛吃，可以吃 22 天，或者供给 16 头牛，可以吃 10 天，期间一直有草生长。如果供给 25 头牛吃，可以吃多少天?
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解题思路
，一般设每头牛每天吃草量为 1 来简化计算。
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常见考法
一片牧场可供 头牛吃 天，可供 头牛吃 天。设每头牛每天吃草量为 1。
- 追及型：若牧草每天均匀生长，每天生长速度为 ，则有
- 相遇型:若牧草每天均匀减少，减少速度为 ，则有
- 极值型：若牧草每天均匀生长，生长速度为 ，则有 ，为保证草永远吃不完，牧场最多放 头牛。
举个栗子
知识点14：给完工时间型工程问题
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定义
完工时间指的是完成同一项工程的多个时间。
做题方法
- 赋总量：完工时间的最小公倍数
- 算效率：
- 根据工作过程列方程或式子
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举个栗子
例1：（2020 江苏）一项工程由甲、乙工程队单独完成，分别需50天和80天。若甲、乙工程队合作20天后，剩余工程量由乙、丙工程队合作需12天完成，则丙工程队单独完成此项工程所需的时间是：
A.40天 B.45天 C.50天 D.60天
【解析】给完工时间型；赋总量为 50 和 80 的公倍数为 400，求效率 ，。列式子：，解得丙的效率为 。做完这项工程需要 。故选 D。例2：（2010 江苏）甲、乙两人加工一批零件，由甲单独做需36小时，由乙单独做需27小时。现由乙先开始做6小时，然后甲、乙两人同时做，完成任务时，甲加工的零件个数是600，由乙加工的零件个数是：
A.1200 B.1800 C.2000 D.2100
【解析】设工程总量为 36 和 27 的最小公倍数为 108。则甲的效率为 ，乙的效率为 。设甲乙共同工作时间为 ，则有 ，解得 。故甲的工作总量为 ，乙的工作总量为 72。36 对应 600 件，则乙的工作总量为 件。故选 A 项。
知识点15：给效率比例型工程问题
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定义
给出多个主体完成某项工程的效率之比。
做题方法
- 赋效率：满足比例即可
- 算总量：
- 根据工作过程列方程或式子
- 赋效率类型
- 直接给效率比例：甲：乙：丙=3：4：5 或 甲=2乙
- 间接给效率比例：甲3天的工作量等于乙2天的工作量（3甲=2乙）
- 给具体人数或机器数：安排 100 名工人或 100 台机器去做某工程（默认没人或每台机器的效率为 1）
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举个栗子
例1：（2018 四川）甲工程队与乙工程队的效率之比为4：5，一项工程由甲工程队先单独做6天，再由乙工程队单独做8天，最后由甲、乙两个工程队合作4天刚好完成，如果这项工程由甲工程队或乙工程队单独完成，则甲工程队所需天数比乙工程队所需天数多多少天？
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】给效率比型题目。赋效率，甲的效率为 4，乙的效率为 5。总工程量为 。，。故甲比乙多五天。选 C 项。例2：（2019 黑龙江）某地计划修筑一条道路。如果该道路交由甲施工队先单独施工6天，乙施工队再单独施工15天即可完工；如果交由乙施工队先单独施工6天，那么甲施工队还需要单独施工24天才能修筑完成。如果这条道路交由甲施工队单独施工，道路修筑完成需要：
A.30 B.32 C.36 D.40
【解析】由题意知 可得 ，故甲乙效率比为 1：2。。。故选 C。例3：（2018 国考）工程队接到一项工程，投入80台挖掘机。如连续施工30天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有10天时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派70台挖掘机并加班施工。问工程队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时？
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
【解析】设每台挖掘机的工作效率为 1。则 。已经施工的工程量为：。剩余工程量为：。设增加之后每天工作 小时，有 ，解得 。故每天需要多工作 ，选 B。
知识点16：给具体单位型工程问题
-
定义
题干给出工程总量或者效率的具体值。
做题方法
- 设未知数
- 找等量关系列方程
-
举个栗子
例1：（2020 江苏）某装配式建筑企业接到一个生产1033套楼板的订单。甲班组生产5天后，乙班组再生产4天，刚好完成任务。若甲班组比乙班组每天多生产23套，则甲班组生产楼板的套数是：
A.625 B.645 C.535 D.515
【解析】给出了工程总量，故为给具体值型工程问题。设乙班组每天生产 套，则甲班组每天生产 套。有 → → 。则甲班组每天生产 套，则甲班组生产 套。选 A。
知识点17：同时开工同时结束类工程问题
-
定义
三个人做两项工作，要求同时开工同时结束。
做题方法
- 先整体分析：
- 再单独分析某一项工程
-
举个栗子
例1：甲乙丙三人完成同一幅拼图的时间分别需要1小时、1.2小时、1.5小时。现在有两幅拼图需要甲、乙完成，两人同时开始，丙刚开始帮助甲拼拼图，后来又帮助乙拼，最后两个拼图同时完成。问：丙分别帮助甲、乙多长时间？
A.0.1小时 0.3小时 B.0.3小时 0.5小时 C.0.5小时 0.6小时 D.0.6小时 0.2小时
知识点18：普通行程问题
- 基本公式考察：
- 火车完全通过桥：
- 火车完全在桥上：
- 等距离平均速度
- 适用范围：等距离两段、直线往返、上下坡往返
- 公式：
- 等时间平均速度
- 公式：
- 举个栗子
知识点19：相对行程问题
- 相遇追及
- 直线相遇
- 定义：两人同时相向而行
- 公式：
- 直线追及
- 定义：两人同向而行或者一方先出发一方后出发
- 公式：
- 环形相遇
- 定义：同点相向出发
- 公式：；相遇一次，；相遇 N 次，
- 本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。
- 环形追及
- 定义：同点同向出发
- 公式：；追上一次，；追上 N 次，。
- 本质：每一次追上到下一次追上期间，两人的路程差是一圈。
- 多次运动
- 直线多次往返迎面相遇（两端出发）
- 第一次相遇：共走
- 第二次相遇：共走
- 第三次相遇：共走
- ……
- 第 N 次相遇：共走
- 直线多次往返迎面相遇（一端出发）
- 第一次相遇：共走
- 第二次相遇：共走
- 第三次相遇：共走
- ……
- 第 N 次相遇：共走
- 环形多次迎面相遇
- 第一次相遇：共走
- 第二次相遇：共走
- 第三次相遇：共走
- ……
- 第 N 次相遇：共走
- 环形多次追及
- 第一次追及：路程差为
- 第二次追及：路程差为
- 第三次追及：路程差为
- ……
- 第 N 次追及：路程差为
- 流水行船
- 公式：；
- 两数之和与两数之差的和的一半为大的一个数，两数之和与两数之差的差的一半为小的一个数。
-
举个栗子
例1：（2018 深圳）清晨，爷爷、爸爸和小磊在同一条笔直跑道上朝同一方向匀速晨跑，某一时刻，爷爷在前，爸爸在中，小磊在后，且三人之间的间距正好相等。跑了12分钟后小磊追上了爸爸，又跑了6分钟后小磊追上了爷爷，则再过（ ）分钟，爸爸可追上爷爷。
A.12 B.15 C.18 D.36
【解析】同向直线追及问题。设小磊的速度为 ，爸爸的速度为 ，爷爷的速度为 ，间距为 。由题意可得： 因为 和 为 12 和 18 的倍数，所以假设 为 12 和 18 的最小公倍数 36。则可求出： 故可知 。代入则有 ，由于 为某一时刻爸爸追上爷爷的时间，则爸爸再过 分钟可以追上爷爷。例2：（2019 浙江）王大妈与李大妈两人分别从小区外围环形道路上A、B两点出发相向而行。走了5分钟两人第一次相遇，接着走了4分钟后，李大妈经过A点继续前行，又过了26分钟两人第二次相遇。问李大妈沿小区外围道路走一圈需要几分钟？
A.54 B.69 C.60 D.63
【解析】方法一：设李大妈的速度为 ，王大妈的速度为 ，则 AB 的距离为 ，有 → 。从第一次到第二次两人相遇，总路程为一圈 ，时间为 ，有 → → 。故李大妈跑一圈需要 54 分钟，选择 A。
知识点20：比例行程问题
-
适用场景
感觉题干未知数特别多或者缺少条件。
三量关系：
- 路程一定（相同），速度与时间成反比
- 速度一定（相同），路程与时间成正比
- 时间一定（相同），路程与速度成正比
-
举个栗子
例1：甲从邮局出发去图书馆，乙从图书馆出发去邮局。两人12点同时出发，相向而行。12点40分两人相遇并继续以原速度前行。13点12分甲到达图书馆后立刻返回邮局。假定两人速度不变，甲返回邮局时，乙已到邮局多长时间了？
A.40 B.50 C.54 D.64
【解析】赋值法：设甲的速度为 ，乙的速度为 。则总路程为 。而当甲乙相遇时甲走的路程为 ，乙走的路程为 。时间相同，路程与速度成正比，故甲乙速度之比为 。赋值甲的速度为 5，乙的速度为 4，则乙到邮局花费 分钟，而甲往返花费 分钟。则甲返回邮局时，乙已经到邮局 分钟故选择 C。
比例法：甲从两人相遇的地方到图书馆需要 32 分钟，而同样乙从图书馆到两人相遇的地方需要 40 分钟。此段路程相同，故甲乙的速度比为时间的反比为 ，而甲到两人相遇的地方用时为 40 分钟，乙从两人相遇的地方到邮局所需时间为速度的反比，即 → t=50，故乙走完全程需要 分钟，而甲往返需要 分钟。所以甲比乙多花费 分钟。也就是说乙到达邮局 54 分钟后甲返回邮局，选择 C。
知识点21：基础经济利润问题
- 相关公式
- 解题方法
- 已知具体量，求具体量（利润、成本、售价）：列式，列方程
- 已知比例，求比例（利润率、折扣）：赋值法
-
举个例子
例1：某企业预计今年营业收入增长 15%，营业支出增长 10%，营业利润增加600万元。已知该企业去年的营业利润为1000万元，则其今年的预计营业支出是：
A.9000 B.9900 C.10800 D.11500
【解析】比例计算法：由于今年的营业支出增长 10%，所以 。故今年的营业支出为 11 的倍数，只有 B 选项符合。
方程法：设今年的营业支出为 ，则今年的营业收入为 ，去年的营业支出为 ，去年的营业收入为 。由于今年的营业收入增长 15%，则有 →支出 收入 今年 去年 故选择 B 选项。
例2：某品牌月饼进价比上月提高了4%，某商场仍按上月售价销售该品牌月饼，利润率比上月下降了5个百分点，那么该商场上月销售该品牌月饼的利润率是多少？
A.20% B.25% C.30% D.32%
【解析】。题干没有给出三量关系的具体值，所以使用赋一设一类赋值法。假设上月成本为 100，利润为 ，则有：成本 售价 利润 利润率 上月 100 本月 104 由题意有： → → ，则 → 。选择 C 项。
知识点22：分段计费类经济利润问题
-
题型判定
生活中水电费、出租车计费、税费等，每段计费不同
-
计算方法
- 按标准，分开
- 计算后，汇总
-
举个栗子
例1：（2016 河南）贾某在停车场停车，每个月前几个小时内收费的基础价格为5元/小时，之后按照基础价格的 90% 收费，某月贾某的停车时间为120小时，共交了545元，则按照基础价格停车的时间为多少小时？
A.8 B.10 C.15 D.20
【解析】方法一：方程法，假设基础停车时间为 。则有 → → 。故选择 B。
方法二，盈亏思维。假设 120 全部为基础价格，则应付 ，然而实际只付了 545，则多付了 元为按照基础价格的 90% 收费多付价格，每小时多付 0.5 元，则有 。则基础时长为 。选择 B。
知识点23：合并计费类问题
-
题型判定
购买达到不同的标准执行不同的优惠活动，两人分别购买之后合并购买，求合并付款前后的优惠关系。
-
做题方法
分析分次购买时金额是否满足基础优惠活动，再分析合并后那一部分优惠活动改变。
-
举个栗子
例1：（2019 四川）某商场做促销活动，一次性购物不超过500元的打九折优惠；超过500元的，其中500元打九折优惠，超过500元部分打八折优惠。小张购买的商品需付款490元，小李购买的商品比原价优惠了120元。如两人一起结账，比分别结账可节省多少元钱？
A.10 B.20 C.30 D.50
【解析】合并节省钱为基础优惠 500 元打九折优惠变为打八折优惠共优惠的 10%，为 50 元，选择 D 选项。分析过程。因为满 500 元至少要付 450 元且优惠 50 元。所以小张和小李购买商品均超过 500 元。假设小张购买金额为 ，小李购买为 ，则总购买金额为 ，合并付款之后，金额 与金额 优惠不变，其中 500 元为原优惠九折，而另外 500 从九折变为八折优惠了 10%，故为 50 元。例2：(2013 联考）某商场开展购物优惠活动：一次购买300元及以下的商品九折优惠；一次购买300元以上的商品，其中300元九折优惠，超过的部分八折优惠。小王购物第一次付款144元，第二次又付款310元。如果他一次购买并付款，可以节省多少元？
A.16 B.22.4 C.30.6 D.48
【解析】第一次购买未超过 300 元，为 160\times0.1=16$，选择 A。
知识点24：函数最值类经济利润问题
-
题型判定
单价和销量此消彼长，问何时总价/利润最高。
-
做题方法
设提价次数为 ：
- 领总收入/总利润为 0，解得 ，
- 当 ，取得最值。
-
举个栗子
例1：（2020 江苏）某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是
A.5元 B.6元 C.7元 D.8元
【解析】假设降价 次可实现利润最大化，则有：，解得 ，，故当 时利润最大。降价 次，则降价金额为 元，选择 C。例2：某企业设计了一款工艺品，每件的成本是70元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是120元时，每天的销售量是100件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本。则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？
A.100元 B.102元 C.105元 D.108元
【解析】设降价为 元可获得最大利润，则有：，解得 ，，则 ，故降价 ，售价为 时，有最大利润。
知识点25：构造数列（和定最值）
-
题型特征
最……最……；排名第几……最……
-
做题方法
排序定位 → 反推其他 → 加和求解
反推其他：采用逆向求值的思想，若要求最大值，则让其他量尽可能小，若要求最小值，则让其他量尽可能大。 -
举个栗子
例1：（2014 国考）某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店：
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】排序定位，排序：将 10 个城市专卖店数量由多到少排序，定位：求谁定位谁，将排名最后的城市的专卖店设为 。有：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 反推其他：求最大值，则令其他量尽可能少，有
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 15 14 13 12 加和求解，则由题意有： → → ，故选择 C。
例2：（2017 江苏）在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分120分。按得分排名，前5名的平均分为115分，且得分是互不相同的整数，则第三名得分至少是：
A.112分 B.113分 C.115分 D.116分
【解析】排序定位和反推其他1 2 3 4 5 119 120 加和求解： → → ，选择 B。
例3：某高校计划招聘81名博士，拟分配到13个不同的院系，假定院系A分得的博士人数比其他院系都多，那么院系A分得的博士人数至少有多少名？
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】排序定位：| 1 | 2| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8| 9 | 10 | 11| 12 | 13|
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---
| | | | | | | | | | | | | |
则有 → ，故 可取最小整数值为 8。选择 C。
知识点26：最不利构造
-
题型特征
当题干中出现“至少……才能保证……”类似的问法时，考虑最不利构造。
-
最不利原则
最不利原则主要考虑与成功一线之差的情况。也就是最不利的情况+1。做题步骤三步走：①分类；②没类离成功差 1，不够全取；③再加 1。
袋子中有 6 个红球，8 个白球，10 个黄球。问：
至少取（19）个，才能保证有红球。
至少取（7）个，才能保证有 3 个同色的球
至少取（21）个，才能保证有 8 个相同颜色的球 -
举个栗子
例1：（2019 重庆市法检）某地区招聘卫生人才，共接到600份不同求职者的简历，其中临床、口腔、公共卫生和护理专业分别有200人、160人、140人和100人。问至少有多少人被录用，才能保证一定有140名被录用的人专业相同？
A.141 B.240 C.379 D.518
【解析】最不利的情况为每种专业的人数恰好为 139 人，对于取不到 139 的专业取全部人数，故有 ，再加 1 为 518 人。
知识点27：两集合容斥原理
-
容斥问题
用容斥原理解决的问题称为容斥问题。容斥原理是一种计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
-
两者容斥问题
代表总量， 既不属于 也不属于 ，则有
举个栗子
知识点28：三集合容斥原理
-
常用公式
- 标准型公式：
- 非标准公式：
- 常识型公式：
-
使用文氏图题型特征
- 条件或问题不便于代入公式计算，公式中不包含的部分用画图。
- 题干出现只满足某一项的情况也使用画图。
举个栗子
知识点29：容斥极值
-
题型特征
已知总量和 个部分量，求这 个部分都包含至少。如：
某社团有 45 人，其中 34 人爱好喜剧，30 人爱好写作，问至少有几个人喜剧和写作都爱好?
已知总量为 ，两个部分量：喜欢喜剧 34 人，喜欢写作 30 人。求喜剧和写作都喜欢的至少有多少人?容斥极值问题。 -
基本公式
；
；
；
…… 举个栗子
知识点30：排列组合之捆绑法
-
定义法
有 个元素进行排列，要求部分元素相邻、相连或在一起，问一共有多少种排列方式。
-
方法
- 先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。
- 再排：将捆绑的看作一个元素，再进行排列。
例：有 A、B、C、D四个人站成一排进行拍照，其中 B 与 C 是情侣，要求站在一起，问有多少种排法?
将 B 与 C 看成一个整体，则有 种排列，剩余 A 和 D 与捆绑后的 B 与 C，共有 3 个元素，对三个元素进行排列，有 种排列。故一共有 种排列方式。
-
举个栗子
例1：（2019 四川）某场科技论坛有5G、人工智能、区块链、大数据和云计算5个主题，每个主题有2位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，问共有多少种不同的发言次序？
A.120 B.240 C.1200 D.3840
【解析】5 个主题，每个主题两个人发言且必须相邻，则有 ，再将 5 个主题排列有 ，则共有 选择 D。
知识点31：排列组合之插板法
-
定义
有 个元素进行排列，要求部分元素不相邻、不相连或不能在一起，问一共有多少种排列方式。
-
方法
- 先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。
- 再插：将不相邻的元素插入到空位中。
例：有 A、B、C、D四个人站成一排进行拍照，其中 B 与 C 是冤家，要求不能站在一起，问有多少种排法?
首先将 A 与 D 进行排列有 种，形成三个 空位，在三个空位中选择 2 个位置将 B 和 C 放入即可。故有 种，一共有 种。
举个栗子
知识点32：排列组合之错位重排
-
定义
错位重排是指把 个元素的位置重新排列，使每个元素都不在原来的位置上。
-
公式
，其中 ，，，，。
举个栗子
知识点33：排列组合之环形排列
-
定义
个不同的元素排列成一个环形，既无头也无尾。
-
公式
个元素共有 种。
举个栗子
知识点34：排列组合之同素分堆（隔板模型）
-
定义
把 个相同的元素分给 个不同的对象，每个对象至少分得一个元素，方法数共有 种。
-
适用条件
隔板模型的使用必须同时满足以下三个条件：
- 所要分的元素必须完全相同
- 分给的对象必须不同，且元素必须分完
- 每个对象至少分到 1 个，绝不允许出现分不到元素的对象
-
应用方法
- 简单应用：题干满足隔板模型的所有条件
- 复杂应用：题干不满足第 3 个条件，可以通过转换使之满足
-
举个栗子
例1：（2014 四川）将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法：
A.14
B.18
C.20
D.22
【解析】，选择 C。例2：将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？
A.190 B.231 C.680 D.1140
【解析】我们假设借3个小球来分别分给三个盒子，每个盒子放一个小球。此时20个小球和这3个小球就能成为隔板模型。故有 ，选择 B。
知识点35：给情况求概率
-
公式
举个栗子
知识点36：给概率求概率
- 分类用加法：
- 分步用乘法：
- 逆向思维：正难反易，
知识点37：多次重复试验
-
特征
在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行一种试验。每一次试验只有两种结果，即事件 A 要么发生，要么不发生。并且每次发生的概率都是相同的。
-
公式
某一试验重复进行 次，其中每次试验中事件 A 发生的概率为 ，那么事件 A 发生 次的概率为
举个栗子
知识点38：周期问题
- 周期余数
- 特征：出现循环或周期，问第/过 N个（天、年）
- 解题思路
- 找周期：确定周期的起点和长度
- 算余数：
- 做等价：第 项就等价于该周期的第 项；过 天就等价于该周期的过 天。
例1：1 月 1 日是星期一，问 1 月份第 16 天（1 月 16 日）是星期几?
起点是一月一日星期一，总数为 16，为 2 个周期余 2 天，故第 16 天为周期的第二项为星期二。
例2：1 月 1 日是星期一，问再过 16 天是星期几?
起点是一月一日星期一，总数为 16，为 2 个周期余 2 天，故过 16 天为周期过两项为星期三。
注意： 描述中 第 与 过的区别
-
举个栗子
例1：（2016上海）文化广场上从左到右一共有5面旗子，分别代表中国、德国、美国、英国和韩国。如果将5面旗子从左到右分别记作A、B、C、D、E，那么从中国的旗子开始，按照ABCDEDCBABCDEDCBA......的顺序数，数到第313个字母时，是代表（ ）的旗子。
A.英国 B.德国 C.中国 D.韩国
【解析】起点为中国，周期为 8，则有 ，故为周期的第一项中国，选择 C。例2：（2014 山西）五名工人按甲-乙-丙-丁-戊的顺序轮流值夜班，每人值班1天休息4天。某日乙值夜班，问再过789天该谁值班：
A.甲 B.乙 C.丙 D.戊
【解析】起点为乙，周期为 5，，则为周期过 4 项，乙丙丁戊甲，为甲值班选择 A。数个数①找周期 → ②算余数 → ③数个数
例3：（2018 广东）有一条长100厘米的纸带，从一端开始，先涂一段红色，长度为4厘米；再涂一段白色，长度为4厘米。按此规律重复操作，直到颜色涂满整条纸带。则涂红色的部分共有（ ）段。
A.10 B.13 C.15 D.25
【解析】起点为红色，周期为 8 厘米，，余的 4 厘米恰好为红色，每个周期有一个红色，一共有 12 个周期，再加上末尾一段红色共 13 段。周期最值①找周期 → ②算余数 → ③求最值（让谁多，主要看末尾余的地方，让它在前最多即可）
例4：（2016 国考）某新建小区计划在小区主干道两侧种植银杏树和梧桐树绿化环境，一侧每隔3棵银杏树种1棵梧桐树，另一侧每隔4棵梧桐树种1棵银杏树，最终两侧各种植了35棵树，问最多栽种了多少棵银杏树？
A.33 B.34 C.36 D.37
【解析】一侧每隔 3 棵银杏树种 1 棵梧桐树的周期为 4，有两种种法，一种为先种三棵银杏再种一颗梧桐，另一种为先种一颗梧桐再种三棵银杏。，在两种种法中，三棵银杏一颗梧桐顺序的种法银杏最多为 。同样另一侧周期为五， 无余数，故无论是先四棵梧桐还是先种一棵银杏，总的银杏树都为 7 棵。故最多栽种 棵银杏树，选择 B。
- 周期相遇
题型特征：出现多个小周期，求再次相遇
解题思路：求多个小周期的最小公倍数
-
其他：①每隔 天=每 天②每隔 小时=每 小时
例1：某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？
A.5 B.2 C.6 D.3
【解析】甲部门每隔两天发布一次，则每三天发布一次，周期为 3，乙部门每隔三天发布一次，则每四天发布一次周期为 4，则甲乙一起发布的周期为 3 和 4 的最小公倍数为 12。则每隔 11 天甲和乙就得同时发布一次。一个自然月最多三十一天，有 。当甲和乙同时在七号以前发布时，一个月能发布 2 次加七号之前的一次共三次。故选择 D 项。例2：三个学校的志愿队分别去敬老院照顾老人，A学校志愿队每隔7天去一次，B学校志愿队每隔9天去一次，C学校志愿队每隔14天去一次，三个队伍周三第一次同时去敬老院，问下次同时去敬老院是周几？
A.周三 B.周四 C.周五 D.周六
【解析】 A 队每隔 7 天去一次，则周期为 8，B 队每隔 9 天去一次，则周期为 10，C 队每隔 14 天去一次，则周期为 15，15 与 8 互质，最小公倍数为 ，120 能被 10 整除，故每 120 天 ABC 三队同时去养老院，则每过 120 天 ABC 三队同时去养老院，转换为周期余数问题，起点周三，周期为 7，。则该周期过 1 天过完周三为周四，选择 B。例3：（2018 广州市）公司安排甲、乙、丙三人从周一开始上班，已知甲每上班一天休一天，乙每上班两天休一天，丙每上班三天休一天，那么三人第三次同时休息是星期（）。
A.日 B.一 C.二 D.三
【解析】甲每上一天休一天，周期为 2，乙每上班两天休一天，周期为 3，丙每上班三天休一天，周期为 4，每隔 12 天，三人同时上班。要甲乙丙同时休息，则为同时上班的前一天，既每个共同周期的最后一天。三人同时第三次休息，即为三个周期的最后一天为 。变为周期余数问题，起点为周一，周期为 7，求第 36 天为周几，$36 \div 7=5 \codts 1。故为周期第一天周一。选择 B。
- 星期计算与推断
平润年判断：年分数能被 4 整除的为闰年，否则为平年。整百的年份需要被 400 整除。
大月与小月：一三五七八十腊，三十一天永不差。
整年推断：每过一个平年，星期增加一天，如果过闰日再加一。
题型特征：给出一段时间内有若干个周几，，推算某一天为周几。
常用结论：①每连续 7 天，必有周一到周日各一天；②每连续二十八天，必有周一到周日四天。
-
解题思路：取连续 28 天，求前（月初）取后，求后（月末）取前。
例1：（2013 国考）根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是：
A.周一或周三 B.周三或周日 C.周一或周四 D.周四或周日
【解析】8 月大，有 31 天，求前，取后 28 天，为四个整星期，有 个工作日。代入选项排除：1号 2号 3号 是否正确 周一 周二 周三 20+3个工作日不正确 周日 周一 周二 20+2正确 周三 周四 周五 20+3不正确 故选择 D。注意代入验证的次序
例2：（2015 北京）小王在每周的周一和周三值夜班，某月他共值夜班10次，则下月他第一次值夜班可能是几号？
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】一个星期的周期内值班两次，则小王值班 10 次经过 5 个周期。5 个周期需要 35 天，而一个月最多只有 31 天。故在前 4 个周期 28 天内值班 8 次，剩下的时间内值班两次，要想能值班两次，则必须经过周一到周三共 3 天，而 ，故该月共有 31 天且末三天为周一到周三。而要再次值班，需要到下周一经过 4 天为第 5 天，故为 5 号，选择 D。
知识点39：空瓶换水问题
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定义
可以用 n 个空瓶换一瓶水，问买 m 瓶水可以喝多少水或者喝 m 瓶水需要购买多少水。
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做题思维
个酒瓶可以换 1 瓶酒， 个空瓶最多可以喝到 瓶酒。
个空酒瓶可以 1 瓶酒，则有 → ，即相当于 个空瓶可以换一份酒。则 个空瓶可以换 份酒。 -
举个栗子
例1：（2019 山东）某啤酒厂为促销啤酒，开展6个空啤酒瓶换1瓶啤酒的活动，孙先生去年花钱先后买了109瓶该品牌啤酒，期间不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问孙先生去年一共喝掉了多少瓶啤酒？
A.127
B.128
C.129
D.130
【解析】买了 109 瓶，109 个空瓶最多可以换 ，因为最多所以下取整为 21 瓶。购买了 109，换了 21。共喝 130。选择D。
知识点：匀加速直线运动
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定义
加速度不变的加速运动称为匀加速运动。
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相关公式
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举个栗子
例1：（2020 北京）一辆汽车在高速公路上以60公里小时的速度匀速行驶，此时司机开始以固定的加速度进行加速，加速后50秒内，汽车行驶了1公里。则汽车从开始加速，到加速至高速公路的速度上限120公里小时需要多长时间？
A.100秒 B.125秒 C.150秒 D.180秒
【解析】由匀加速直线运动知 → → →
知识点：其他
- 如果 ，那么
- 若某个量占其他量总和的 ，则该量占总量的 。