《算法竞赛·快冲300题》每日一题：“圆内的最短距离”
《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。
文章目录
- 题目描述
- 题解
- C++代码
- Java代码
- Python代码
“ 圆内的最短距离” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1789
题目描述
【题目描述】 小蓝最开始在一个半径为1的圆心上，圆上有m个等分点，每个点有对应的一个颜色编号。
小蓝需要走一条给定的颜色路径，也就是每次需要到达具有该颜色的任意一个点上。
如下图所示，图上有5个点，按照顺时针颜色编号依次为1 4 2 2 3。
小蓝需要走的颜色路径是1 2 4 1 3 2，由于颜色2有两个点，但是最短路径如图所示。
现在给你上述信息，求小蓝走的最短距离。
【输入格式】 第一行为n，表示小蓝需要完成的颜色路径的长度。
第二行为n个数字表示给定的颜色路径。
第三行为m，表示圆上等分点的数量。
第四行为按照顺时针给定的m个点的颜色编号。所有数字不超过100。
【输出格式】 输出的答案与标准答案绝对误差在10^-6以内视为正确。
【输入样例】
样例1：
6
1 2 4 1 3 2
5
1 4 2 2 3
样例2：
5
4 2 1 3 1
6
1 2 1 3 1 4
【输出样例】
样例1：
7.604395
样例2：
5.732051
题解
首先计算第x点和第y点之间的距离。原点 O O O，直线 O O Ox和 O y Oy Oy的夹角等于 α = x − y m × 2 π \alpha=\frac {x-y}{m}\times2\pi α=mx−y×2π，当半径等于1时，线段xy的长度等于 2 − 2 c o s α \sqrt{2-2cos\alpha} 2−2cosα。
把本题建模为图问题。图有点和边，点是圆周上的点，边是两点间的边。把样例1画成有向图：
样例1的路径要求是“1 2 4 1 3 2”，起点是颜色“1”，下一步走到颜色“2”，颜色“2”在圆周上有2个点，所以上图画了2条边。
显然，这是一个经典的动态规划问题：多段图最短路。
定义状态dp[][]。dp[i][j]表示走到第i步，位于j点，且j点的颜色是路径要求的颜色，dp[i][j]是从起点到第j点的最短路径长度。
最后得到的dp[n][j]，是走完了n步，位于j点，且j点的颜色是路径第n步要求的颜色。可能有多个j点的颜色满足要求，在所有的dp[n][j]中，最小的那个就是答案。
状态转移方程：从第i-1步到第i步，按要求的颜色找下一个点，并计算这个点的最短路。
代码第23行计算dp，有三个for循环，计算复杂度为 O ( n m 2 ) O(nm^2) O(nm2)。
【重点】 多段图最短路。
C++代码
#include Java代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static final double INF = 10000.0;
static int n, m;
static int[] p = new int[110];
static int[] c = new int[110];
static double[][] dp = new double[110][110];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
for (int j = 1; j <= m; j++) c[j] = sc.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
dp[i][j] = INF;
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (p[1] == c[j])
dp[1][j] = 1.0;
for (int i = 2; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (p[i] == c[j])
for (int k = 1; k <= m; k++)
if (p[i - 1] == c[k])
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i - 1][k] + dis(k, j));
double ans = INF;
for (int j = 1; j <= m; j++)
ans = Math.min(ans, dp[n][j]);
System.out.printf("%.6f", ans);
}
static double dis(int x, int y) {
double a = 2.0 * Math.abs(x - y) * Math.acos(-1.0) / m;
return Math.sqrt(2 - 2 * Math.cos(a));
}
}
Python代码
import math
INF = 10000.0
n = int(input())
p =[0]+ list(map(int, input().split()))
m = int(input())
c =[0]+ list(map(int, input().split()))
dp = [[INF] * 110 for _ in range(110)]
def dis(x, y):
a = 2.0 * abs(x - y) * math.acos(-1) / m
return math.sqrt(2 - 2 * math.cos(a))
for j in range(1, m+1):
if p[1] == c[j]: dp[1][j] = 1.0
for i in range(2, n+1):
for j in range(1, m+1):
if p[i] == c[j]:
for k in range(1, m+1):
if p[i-1] == c[k]:
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][k] + dis(k, j))
ans = INF
for j in range(1, m+1): ans = min(ans, dp[n][j])
print("%.6f" % ans)