第四章，向量组，3-线性相关性

玩转线性代数(24)线性相关性的笔记，相关证明以及例子见原文

线性相关性的定义

定义：给定向量组$A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$，如果存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots ,k_m$使
$$k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_m{a}_m=0$$
则称向量组A线性相关，否则称为线性无关。
推广：两个向量线性相关的充要条件是两向量对应元素成比例

线性相关性的判断

根据定义来判断（例见原文）

线性表示法判断

向量组$a_1,a_2,\cdots ,a_m$线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可同其余$m-1$个向量线性表示，其逆否命题就是任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示，则向量组一定线性无关
证明：设向量组$a_1,a_2,\cdots ,a_m$线性相关，则存在不全为0的数$k_1,k_2,\cdots ,k_m$（不妨设某一$k_i\ne 0$），使得$k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_m{a}_m=0$，从而$a_i=-\frac{1}{k_i}(k_1{a}_1+\cdots +k_{i-1}{a}_{i-1}+k_{i+1}{a}_{i+1}+\cdots +k_m{a}_m)$，即$a_i$可由其余向量线性表示
反之，设任一向量$a_i$可由其余向量线性表示$a_i=-k_1{a}_1+\cdots +k_{i-1}{a}_{i-1}+k_{i+1}{a}_{i+1}+\cdots +k_m{a}_m$，即$-1a_i+k_1{a}_1+\cdots +k_{i-1}{a}_{i-1}+k_{i+1}{a}_{i+1}+\cdots +k_m{a}_m=0$，所以向量组$A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$线性相关

秩法判断

定理：向量组$A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$线性相关$\iff$矩阵$A=(a_1,a_2,\cdots ,a_m)$的秩小于向量的个数m;
向量组$A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$线性无关$\iff$矩阵$A=(a_1,a_2,\cdots ,a_m)$的秩等于向量的个数m。

行列式判断

对于向量个数与维数相等的向量组的线性相关性的判定，可以采用另一种方法：即利用行列式是否为零来判断其秩，而不用具体求出秩的大小.

方程法

如：向量组$A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$线性相关$\iff$方程$(a_1,a_2,\cdots ,a_m)x$有非零解;
向量组$A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$线性无关$\iff$方程$(a_1,a_2,\cdots ,a_m)x$只有零解.

结论

对于向量组的线性相关性判断有很多方法，但是最重要的是定义和从定义出发得出的判定定理：线性表示法，秩法、方程法等．下面的结论都是从这几个角度来推出的．

结论1

若$A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$线性相关，则$B:a_1,a_2,\cdots ,a_m,a_{m+1}$也线性相关；反之，B线性无关，则A线性无关。
分析：（秩法解释）若$A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$线性相关$\iff$$R(A)<m$，而$R(B)=R(A,b)\le R(A)+R(b)=R(A)+1<m+1\Rightarrow B:a_1,a_2,\cdots ,a_m,a_{m+1}$线性相关；
反之$B:a_1,a_2,\cdots ,a_m,a_{m+1}$线性无关$\iff$$R(B)=m+1$，而$m+1=R(B)\le R(A)+R(B)=R(A)+1\Rightarrow R(A)\ge m$，又A为m列，故$R(A)\le m\Rightarrow R(A)=m\Rightarrow A:a_1,a_2,\cdots ,a_m线性无关$。

结论2

m个n维向量组成的向量组，当m>n时一定线性相关。特别地，n+1个n维向量一定线性相关。
分析：对$A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$，若m>n，则有$R(A)\le n<m$，故线性无关.

结论3

设$A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$线性无关，而$B:a_1,a_2,\cdots ,a_m,a_{m+1},b$线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式唯一。
分析: $$\{\begin{array}{r}向量组B线性相关\Rightarrow R(B)<m+1\Rightarrow R(B)\le m\\ R(B)\ge R(A)=m\end{array}\Rightarrow R(B)=m$$
故Ax=b有解，且$R(A)=m$，所以解唯一，表达式也唯一。