堆

定义：堆是一棵完全二叉树，树中陪你过每个结点的值都不小于（或都不大于）其左右孩子结点的值。其中，如果父亲结点的值大于或等于孩子结点的值，那么称这样的堆为大顶堆，这时每个结点的值都是以它为根结点的子树的最大值；如果父亲结点的值小于或等于孩子节点的值，那么称这样的堆为小顶堆，这是每个结点的值都是以它为根结点的子树的最小值。堆一般用于优先队列的实现，而优先队列默认情况下使用的是大顶堆，因此本届以大顶堆为例，以下出现的堆均指大顶堆。

结点按层序储存于数组中，其中第一个结点将存储于数组中的1号位，并且数组i号位表示结点的左孩子就是2i号位，而右孩子则是(2i + 1)号位。
定义数组来表示堆:

const int maxn = 100;
//heap为堆，n为元素个数
int heap[maxn], n = 10;

每次调整都是把结点从上往下的调整。针对这种向下调整，调整方法是这样的：总是将当前结点V与它的左右孩子比较（如果有的话），假如孩子中存在权值比结点V的权值大的，就将其中权值最大的那个孩子结点与结点V交换；交换完毕后继续让结点V和孩子比较，直到结点V的孩子的权值都比结点V的权值小或是结点V不存在孩子结点。

//对heap数组在[low, high]范围向下调整
//其中low为欲调整结点的数组下标，high一般为堆的最后一个元素的数组下标
void downAdjust(int low, int high) {
    int i = low, j = i * 2;     //i为欲调整结点，j为其左孩子
    while(j <= high) {      //存在孩子结点 
        //如果右孩子存在，且右孩子的值大于左孩子
        if(j + 1 <= high && heap[j + 1] > heap[j]) {
            j = j + 1;
        }
        //如果孩子中最大的权值比欲调整结点i大
        if(heap[j] > heap[i]) {
            swap(heap[j], heap[i]);     //交换最大权值的孩子与欲调整结点i
            i = j;      //保持i为欲调整结点、j为i的左孩子 
            j = i * 2; 
        } else {
            break;      //孩子的权值比欲调整结点i小，调整结束 
        }
    } 
} 

这种建堆的做法保证每个结点都是以其为根结点的子树中的权值最大的结点

//建堆
void createHeap() {
    for(int i = n / 2; i >= 1; i--) {
        downAdjust(i, n);
    }
} 

如果要删除堆中的最大元素（也就是删除堆顶元素），并让其仍然保持堆的结构，那么只需要最后一个元素覆盖堆顶元素，然后对根结点进行调整即可。

//删除堆顶元素
void deleTop() {
    heap[1] = heap[n--];    //用最后一个元素覆盖堆顶元素，并让元素个数减一
    downAdjust(1, n);      //向下调整堆顶元素
}

添加一个元素，可以把想要添加的元素放在数组最后（也就是完全二叉树的最后一个结点后面），然后进行向上调整操作。向上调整总是把欲调整结点与父亲结点比较，如果权值比父亲结点大，那么就交换其与父亲结点，这样反复比较，直到达堆顶或是父亲结点的权值较大为止。向上调整代码如下：

//对heap数组在[low, high]范围进行向上调整
//其中low一般设置为1,high表示欲调整结点的数组下标
void upAdjust(int low, int high) {
    int i = high, j = i / 2;        //i为欲调整结点，j为其父亲
    while(j >= low) {
        //父亲权值小于欲调整结点i的权值
        if(heap[j] < heap[i]) {
            swap(heap[j], heap[i]);
            i = j;
            j = i / 2;
        } else { 
            break;
        }
    } 
}

添加元素的代码

//添加元素x
void insert(int x) {
    heap[++n] = x;
    upAdjust(1, n);
} 

堆排序

堆排序是指使用对结构对一个序列进行排序。此处讨论递增排序的情况
考虑对一个堆来说，堆顶元素是最大的，因此在建堆完毕后，堆排序的直观思路就是取出堆顶元素，然后将堆的最后一个元素替换至堆顶，再进行一次针对堆顶元素的向下调整——如此重复，直到堆中只有一个元素为止。
具体实现时，为了节省空间，可以倒着遍历数组，假设当前访问到i号位，那么将堆顶元素与i号位的元素交换，接着在[1, i - 1]范围内对堆顶元素进行一次向下调整即可。

void heapSort() {
    createHeap();       //建堆
    for(int i = n; i > 1; i--) {    //倒着枚举，直到堆中只有一个元素 
        swap(heap[i], heap[1]);     //交换heap[i]与堆顶 
        downAdjust(1, i - 1);       //调整堆顶 
    }   
}