【考研数学】高等数学第四模块——微分方程

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一、微分方程基本概念

微分方程 —— 含导数或微分的方程称为微分方程。

微分方程的阶数 —— 微分方程中所含的导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数。

微分方程的解 —— 使得微分方程成立的函数称为微分方程的解。不含任意常数的解称为微分方程的特解；若微分方程的解所含有的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称此解为微分方程的通解。

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二、一阶微分方程的种类及解法

2.1 可分离变量的微分方程

形如 $dy/dx=f(x,y)$ 的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程。顾名思义，可以把 $x$ 和 $dx$ 放在一起，这样只需要两边同时积分就行。

举个例子：$dy/dx=1+x+y^2+x{y}^2$ ，等式右端因式分解为 $(1+x)(1+y^2)$ ，可分离变量为 $dy/(1+y^2)=(1+x)dx$ ，两边同时积分，得到 $arctany=x+\frac{1}{2}{x}^2+C.$

2.2 齐次微分方程

形如 $dy/dx=f(x,y)$ ，且 $f(x,y)=\phi (\frac{y}{x})$ ，称为齐次微分方程。即 $f(tx,ty)=f(x,y).$

令 $u=y/x$ ，则 $dy/dx=du/dx+u$，代入原方程得 $u+xdu/dx=\phi (u)$ ，分离变量即可。

举个例子，求微分方程 $xdy/dx=y+\sqrt{x^2+y^2}(x>0)$ 满足 $y(1)=0$ 的特解。

解： 等式两边除以 $x$ ，得 $dy/dx=y/x+\sqrt{1+(y/x{)}^2}.$ 令 $u=y/x$ ，整理可得 $$\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{dx}{x}.$$ 积分得 $u+\sqrt{1+u^2}=Cx$ ，由 $y(0)=1$ ，可得 $C=1$ ，即 $u+\sqrt{1+u^2}=x$ ，取倒数，则有 $u-\sqrt{1+u^2}=1/x$ ，联立可得到特解 $y=(x^2-1)/2.$

2.3 一阶齐次线性微分方程

形如 $dy/dx+P(x)y=0$ 的方程，称为一阶齐次线性微分方程。其通解公式为 $$y=C{e}^{-\int P(x)dx}.$$

2.4 一阶非齐次线性微分方程

形如 $dy/dx+P(x)y=Q(x)$ 的方程，称为一阶非齐次线性微分方程。其通解公式为 $$y=[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]e^{-\int P(x)dx}.$$
通解公式推导第一步为等式两边同时乘 $e^{\int P(x)dx}$ ，这公式用的相对蛮多的，还是记忆一下比较方便些。

2.5 伯努利方程

形如 $dy/dx+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$ 的方程，称为伯努利方程。

令 $z=y^{1-n}$ ，代入原方程得 $dz/dx+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$ ，求解该关于 $z,x$ 的一阶非齐次线性微分方程即可。

2.6 全微分方程

设 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ ，满足 $\partial Q/\partial x=\partial P/\partial y$ ，则称该方程为全微分方程。

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三、可降阶的高阶微分方程

第一种：形如 $y^{(n)}=f(x)$ ，进行多次不定积分即可求解。

第二种：形如 $f(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$（缺 $y$ 型）。解法是令 $y^{\prime }=dy/dx=p(x)$ ，则 $y^{\prime \prime }=dp/dx.$

第三种：形如 $f(y,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$（缺 $x$ 型）。解法是令 $y^{\prime }=dy/dx=p(y)$ ，则 $y^{\prime \prime }=pdp/dy.$

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四、高阶微分方程

4.1 高阶线性微分方程

4.1.1 基本概念

$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0（4-1）$$ 称为 $n$ 阶齐次线性微分方程，其中 $a_1(x),\dots ,a_{n-1}(x),a_n(x)$ 为 $x$ 的函数。
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f(x)（4-2）$$ 称为 $n$ 阶非齐次线性微分方程，其中 $a_1(x),\dots ,a_{n-1}(x),a_n(x)$ 为 $x$ 的函数。

若 $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ ，则非齐次方程可分解为如下两个方程：$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f_1(x)（4-3）$$ $$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f_2(x)（4-4）$$

4.1.2 解的结构与性质

（1）设 ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_s(x)$ 为方程（4-1）的一组解，则 $k_1{\phi }_1(x)+k_2{\phi }_2(x)+\cdots +k_s{\phi }_s(x)$ 也为方程（4-1）的解。

齐次解线性组合仍为齐次解。

（2）若 ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x)$ 分别为方程（4-1）和（4-2）的解，则 ${\phi }_1(x)+{\phi }_2(x)$ 为方程（4-2）的解。

齐次解+非齐次解等于非齐次解。

（3）若 ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x)$ 为方程（4-2）的两个解，则 ${\phi }_1(x)-{\phi }_2(x)$ 为方程（4-1）的解。

非齐次解相减为齐次解。

（4）若 ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x)$ 分别为方程（4-3）和（4-4）的解，则 ${\phi }_1(x)+{\phi }_2(x)$ 为方程（4-2）的解。

（5）设 ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_s(x)$ 为方程（4-2）的一组解，则 $k_1{\phi }_1(x)+k_2{\phi }_2(x)+\cdots +k_s{\phi }_s(x)$ 为方程（4-2）的解的充分必要条件是 $k_1+k_2+\cdots +k_s=1.$

非齐次解线性组合，系数之和为 1 才还是非齐解。

（6）设 ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_s(x)$ 为方程（4-2）的一组解，则 $k_1{\phi }_1(x)+k_2{\phi }_2(x)+\cdots +k_s{\phi }_s(x)$ 为方程（4-1）的解的充分必要条件是 $k_1+k_2+\cdots +k_s=0.$

非齐次解线性组合，系数之和为 0 才是齐次解。

（7）设 ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_n(x)$ 为方程（4-1）的 $n$ 个线性无关解，则 $k_1{\phi }_1(x)+k_2{\phi }_2(x)+\cdots +k_n{\phi }_n(x)$ 为方程（4-1）的通解。

（8）设 ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_n(x)$ 为方程（4-1）的 $n$ 个线性无关解，${\phi }_0(x)$ 为方程（4-2）的一个特解，则 $k_1{\phi }_1(x)+k_2{\phi }_2(x)+\cdots +k_n{\phi }_n(x)+{\phi }_0(x)$ 也为方程（4-2）的通解。

非齐通解为齐次通解+非齐特解。

4.1.3 高阶常系数线性微分方程

（一）二阶常系数齐次线性微分方程的解法
形如 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$（其中 $p,q$ 为常数）的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。其求解步骤如下：

（1）求解方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的特征方程 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0.$

（2）根据特征方程根的不同，分为如下三种情形：

（2.1）当判别式 $\Delta =p^2-4q>0$ 时，两特征根 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ ，则原方程的通解为 $$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x};$$（2.2）当判别式 $\Delta =p^2-4q=0$ 时，方程有两个相同的特征根 ${\lambda }_1={\lambda }_2$ ，则原方程的通解为 $$y=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x};$$ （2.3）当判别式 $\Delta =p^2-4q<0$ 时，特征方程有两个共轭虚根 $\alpha \pm i\beta$ ，则原方程的通解为 $$y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x).$$

对于三阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime }+p{y}^{\prime \prime }+q{y}^{\prime }+ry=0$ ，解法类似二阶，不过根的种类组合较多。其特征方程 ${\lambda }^3+p{\lambda }^2+q\lambda +r=0$ 有三个根 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ ，可分为如下几种情形：
（1）${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\in R$ 且两两不相等，类比判别式大于 0 的情况，其通解为 $$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}+C_3{e}^{{\lambda }_{3}x};$$ （2）${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\in R$ 且有一对根相等 ${\lambda }_1={\lambda }_2\ne {\lambda }_3$ ，相等的那一对根类比判别式等于 0 的情况，剩下的一根类比大于 0 的情况，则其通解为 $$y=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}+C_3{e}^{{\lambda }_{3}x};$$ （3）${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\in R$ 且 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3$ ，类比判别式为 0 的情况，则其通解为 $$y=(C_1+C_{2}x+C_3{x}^2)e^{{\lambda }_{1}x};$$ （4）${\lambda }_1\in R,{\lambda }_{2,3}=\alpha \pm i\beta (\beta \ne 0)$ ，共轭虚跟类比判别式小于 0 的情况，剩余的实根类别判别式大于 0 的情况，则其通解为 $$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+e^{\alpha x}(C_{2}cos\beta x+C_{3}sin\beta x).$$

（二）二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
形如 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$（其中 $p,q$ 为常数）的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程。根据 $f(x)$ 的不同形式，求特解方程分为如下两种情况：

（1）$f(x)=P_n(x)e^{kx}.$

$CaseI$ —— 若 $k$ 非特征根，可令特解 $y_0=(a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n)e^{kx}$ ，即 $P_n(x)$ 是几次，特解中的多项式就几次。如 $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=(x+1)e^x$ ，其特解方程应设为 $y_0=(ax+b)e^x;$

$CaseII$ —— 若 $k$ 与其中一个特征根相同，可令 $y_0=x(a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n)e^{kx}$ ，即比（1.1）多乘了一个 $x$ 。

$CaseIII$ —— 若 $k$ 与两个特征根均相同，可令 $y_0=x^2(a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n)e^{kx}$ ，即比（1.1）多乘了一个 $x^2$ 。

得出特解形式后，将特解代入原方程进行整理，可得出相关系数。

（2）$f(x)=e^{\alpha x}(P_l(x)cos\beta x+P_s(x)sin\beta x).$

令 $n=max$ {$l,s$} 。

$CaseI$ —— 若 $\alpha \pm i\beta$ 不是特征根，则令 $y_0(x)=e^{\alpha x}(Q_n^{(1)}(x)cos\beta x+Q_n^{(2)}(x)sin\beta x);$

$CaseII$ —— 若 $\alpha \pm i\beta$ 是特征根，则令 $y_0(x)=x{e}^{\alpha x}(Q_n^{(1)}(x)cos\beta x+Q_n^{(2)}(x)sin\beta x);$

举个例子，设 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+2y=x{e}^{x}cosx,$ 求该方程特解形式。

解： 由特征方程 ${\lambda }^2-2\lambda +2=0$ 解得 ${\lambda }_{1,2}=1\pm i$ 。$x{e}^{x}cosx=e^x(xcosx+0sinx)$ ，故 $\alpha =1,\beta =1,n=1$ ，所以 $\alpha \pm i\beta$ 是特征根，故特解形式为 $$y_0(x)=x{e}^x((ax+b)cosx+(cx+d)sinx).$$

假设特解有两个要点：
（1）根据右边形式进行假设，且正弦余弦都需要，多项式取最高次。
（2）如果 $\alpha \pm i\beta$ 是特征根，需要多乘一个 $x.$

4.2 欧拉方程

形如 $x^n{y}^{(n)}+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+a_{1}x{y}^{\prime }+a_{0}y=f(x)$ 的方程称为欧拉方程，其中 $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$ 为常数。

令 $x=e^t,dx/dt=e^t=x$ ，则有 $$x{y}^{\prime }=x\frac{dy/dt}{dx/dt}=dy/dt$$$$x^2{y}^{\prime \prime }=x^2(\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx})=x^2\frac{d(\frac{dy/dt}{dx/dt})}{dx}=x^2\frac{d(\frac{dy/dt}{x})/dt}{dx/dt}=x^2\frac{\frac{d^{2}y/d{t}^2-dy/dt}{x}}{x}=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}$$ 记 $\frac{d}{dt}=D$ ，有 $Dy=dy/dt，D^{2}y=d^{2}y/d{t}^2$ ，则 $x{y}^{\prime }=D,x^2{y}^{\prime \prime }=D^{2}y-D=[D(D-1)]y$ ，故 $x^n{y}^{(n)}=D(D-1)(D-n+1)y.$ 代入原方程，得到一个关于 $y,t$ 的高阶常系数非齐次线性微分方程。

举个例子，求微分方程 $x^2{y}^{\prime \prime }+2x{y}^{\prime }-2y=3x-2(x>0)$ 的通解。

解： 令 $x=e^t$ ，则有 $x{y}^{\prime }=dy/dt,x^2{y}^{\prime \prime }=d^{2}y/d{t}^2-dy/dt$ ，代入原方程，得 $$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{dy}{dt}-2y=3e^t-2（1）$$ 根据解的结构性质（4），将其拆分为两个方程：$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{dy}{dt}-2y=3e^t（1.1）$$ 和 $$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{dy}{dt}-2y=-2（1.2）$$ 方程（1）的特征方程 ${\lambda }^2+\lambda -2=0$ ，解得 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-2$ ，故方程（1）对应的齐次方程通解为 $y=C_1{e}^t+C_2{e}^{-2t}.$ 设 $y_1(t)=at{e}^t$ 为方程（1.1）的特解，代入可解得 $a=1$ ，故 $y_1(t)=t{e}^t$ 。$y_2(t)=1$ 显然为方程（1.2）的特解，可得方程（1）的特解为 $t{e}^t+1$ ，故方程（1）的通解为 $y=C_1{e}^t+C_2{e}^{-2t}+t{e}^t+1$，把 $t$ 换回 $x$ ，可得原方程的通解为 $$y=C_{1}x+\frac{C_2}{x^2}+xlnx+1.$$

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写在最后

呼~，内容真多，不过记忆的较多，难度不太大。中间还漏了全微分方程的解法，因为曲线积分还没学（惭愧）。接下来就还剩下级数、曲线曲面积分和空间解析几何以及前面落下的应用部分了，稳扎稳打吧。