拓展欧几里得算法

问题

• 求线性同余方程ax+by=c的整数解

思路

首先介绍下欧几里得算法的原理，众所周知，欧几里得算法是辗转相除法，这里给出证明：

假设a>b，证明 gcd(a,b) = gcd(a mod b,b)
设a=bk+c，c=a mod b
如果D=gcd(b,c)>gcd(a,b)，则等式 a=bk+c 右边除以D是整数，但左边除以D不是整数
如果gcd(b,c) 可见均矛盾，故gcd(b,c)=gcd(a,b)

拓展欧几里得算法也是基于这个递推式，根据裴蜀定理，线性同余方程ax+by=c有整数解的充要条件是c|gcd(a,b)，那么我们设a>=b，有

• ax1+bx2=1
• 根据 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)=1，我们有
• bx2 + (a mod b)y2=1
• 若t = a/b，有
• bx2 + (a mod b + bt -bt)y2 = 1
  化简得 ay2 + b(x2-ty2) = 1
  因为a mod b

解决

    public int[] extended(int a, int b, int c){//ax+by=c
        if (a

Tips

• 注意裴蜀定理中c|gcd(a,b)是充要条件，也就是说如果不符合则无解，这里为了方便不考虑这种情况，另外也不考虑a=b=c=0这种特殊情况
• gcd(a,b) * lcm(a,b) = a*b的证明：https://oi-wiki.org/math/gcd/#_5
• ax+by=1和ax≡1(mod b)完全等价，故可以用拓展欧几里得算法来求逆元，当然求逆元也有其他方式，比如线性时间复杂度中求a以内所有数的逆元，这里不展开了
• 如果不想让x或者y出现负数，可以使 x = (x+b)%b 或者 y=(y+a)%a