2019CCPC哈尔滨E:数学，思维

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前言:本周比赛的时候做出来的银牌题．赛后补题的时候发现好像正解和我的还是有点差别．而且正解也挺巧妙的．涉及到了一些我之前没掌握的结论．故特此记录一波.

题意：略

传送门:https://vjudge.net/contest/398773#problem/E

思路:

首先逆序O(n)标记下推可求得基向量．这个没问题．

先说我的定理：对序列正序排序，逆序排序．冲突一定连续．

根据以上定理．hash桶装值域．枚举值域．维护前缀和后缀和判一下冲突情况即可．复杂度:

正解思路:

前置题目１:ＨＤＵ1205: 给你一个序列．问你是否可能将其排列成任意两个相邻的位置值不相同．

鸽巢定理:若出现次数最多的数的次数 ,则一定有解.

简单证明: 将出现次数最多的数排成一排．　若其他的数的个数 n - x >= x - 1. 那么他们可以将出现最多的数完全分隔开．之后将出现次数次多的按同样的方式填．递归下去一定能够填完且合法.

前置题目2:O(n)求序列中出现次数 > 一半　的数．

方法一:位运算

如果Ａ出现次数最多，那么他在二进制上每一位出现的次数也最多．所以统计二进制每一位上的众数(只有0/1).然后做位运算合并即可．复杂度:O(64n).

方法二:摩尔投票法(我们要的)

思想:假设众数贡献为1，非众数贡献为0.则最后总贡献 > 0.

任意选择一个数y,将其当做众数，模拟贡献．当贡献抵消为０时,剩余的数中众数不变

1.若y是众数.那么抵消的数中有一半是ｙ.剩下的数中仍有一半以上是ｙ.

2.否则，抵消的数中 小于等于 一半的数是y.剩下的数中仍有一半以上是ｙ.

不管怎样,的关系在情况1/2后不会发生改变.

    所以根据上述两个特性，进行模拟．逐渐缩小数组范围．最后得到的一定是众数.

plus:如何判断是否存在超过一半的数?

    得到答案后，扫一遍序列确认一下答案出现的次数:若<= n/2则答案不存在.

有了前面两个前置结论之后：

给一个序列，重新排列使得位置映射到原序列上数两两不同的充分必要条件:

出现次数最多的数的次数 

否则冲突的个数为: 2x - n

重点:我们可以将这个问题转化成　HDU１２０５：将序列长度 *= 2. 然后把位置相对看成位置相邻．得到一样的结论.

所以扫一遍[基序列]，利用摩尔投票法O(n)求次数出现次数最多的数即可．