C++三大质数筛法

什么是质数？

质数是指在大于1的自然胡中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。、

一、朴素筛法

时间复杂度：

优化前：O()

优化后：O()

优化前代码 

//题目：输入正整数n，输出n以内的所有质数（不包括1与n自身），空格隔开。
#include 
#include 
#define ll long long
using namespace std;

bool zs(int x)
{
    if(x == 1) //众所周知，1不是质数
        return false;
    
    for(int i = 2; i < x; i++)
    {
        if(x % i == 0) //判断i是否是x的因数
            return false;
    }
    
    return true;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);

    for(int i = 2; i < n; i++)
    {
        if(zs(i)) //判断i是否为质数
            printf("%d ", i); //是质数，则输出i
    }

    return 0;
}

优化后代码 

//题目：输入正整数n，输出n以内的所有质数（不包括1与n自身），空格隔开。
#include 
#include 
#define ll long long
using namespace std;

bool zs(int x)
{
    if(x == 1) //众所周知，1不是质数
        return false;
    
    for(int i = 2; i * i <= x; i++)
    {
        if(x % i == 0) //判断i是否是x的因数
            return false;
    }
    
    return true;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);

    for(int i = 2; i < n; i++)
    {
        if(zs(i)) //判断i是否为质数
            printf("%d ", i); //是质数，则输出i
    }

    return 0;
}

二、埃氏筛法

思路：先去掉2的倍数，再去掉3的倍数，再去掉4的倍数，……依此类推，直到最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数。

时间复杂度: 

O()

代码

//题目：输入2个正整数n，m，n表示取值范围，m表示m次查询，接下来m行，
//每行输入查询的数字t，输出t是否为质数，是输出Yes，不是输出No。
#include 
#include 
#define ll long long
using namespace std;

bool a[10005];

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(a, true, sizeof(a)); 

    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(a[i])
        {
            for(int j = 2; i * j <= n; j++)
                a[i * j] = false;
        }
    }

    a[1] = false;
    int t;

    while(m--)
    {
        scanf("%d", &t);

        if(a[t])
            printf("Yes\n");
        else 
            printf("No\n");
    }
    return 0;
}

三、欧氏筛法

思路：在埃式筛法中，存在有些数存在重复筛的情况，如：385这个数，385= 5 * 7* 11，会被5的倍数时标记一次，7的倍数时标记一次，11的倍数时标记一次，造成效率达不到最优。而线性筛法基于改进这个不足的基础上，在线性时间内，也就是O(n)，用筛选的方法把素数找出来。

时间复杂度：

O()

代码

int Euler_sieve(int n)
{
    int i,j,k;
    k=0;//保存素数的个数
    memset(vis,0,sizeof(int)*maxn);//初始化数组
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]==0)//i是素数，则存起来
            prime[k++]=i;
        for(j=0;jn)//倍增结果超出范围，退出
                break;

            vis[ i*prime[j] ]=1;//将倍增结果进行标记

            if(i%prime[j]==0)//i是前面某个素数的倍数时，也需要退出
                break;
        }
    }
    return k;
}