数学建模（五）非线性规划

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一、非线性规划模型

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不像线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。

1.1 案例

投资决策问题：

某企业有n个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元，投资于第i， i = 1,2,…,n个项目需花资金元，并预计可收益元。试选择最佳投资方案。

Q：为什么说这个题目是非线性的呢？

A：限制条件指明至少要投资一个项目，因此目标函数不能仅考虑收益最大，还要考虑花资金最小。

设置决策变量：

则，投资总额为，投资总收益为。

限制条件：

模型：

 

1.2 非线性规划的数学模型

在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值(或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。

非线性规划在mathlab中的标准格式：

 

非线性规划在mathlab中的命令：

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x的返回值是决策向量x的取值，fval返回的是目标函数的取值，其中fun是目标函数需用m文件定义。

• x0是x的初始值。
• A,b,Aeq,beq定义了线性约束Ax≤b，Aeq-x=beq，如果没有线性约束，则A=[]，b=[]，Aeq=[]，beq=[]。
• lb和ub是变量x的下界和上界，如果上界和下界没有约束，即x无下界也无上界，则lb=[]，ub=[]。
• nonlcon是用M文件定义的非线性约束函数c(x),ceq(x)。
• options定义了优化参数，可以使用Matlab缺省的参数设置。