每日一练c++题目日刊 | 第十二期

文章目录

  • 第一题
    • 题目背景故事
    • 题目描述
    • 输入描述
    • 输出描述
    • 输入样例
    • 输出样例
    • 解题思路
    • C++参考程序
  • 第二题
    • 题目背景故事
    • 题目描述
    • 输入描述
    • 输出描述
    • 输入样例
    • 输出样例
    • 解题思路
    • C++参考程序
  • 第三题
    • 题目背景故事
    • 输入描述
    • 输出描述
    • 输入样例
    • 输出样例
    • 解题思路
    • C++参考程序

第一题

题目背景故事

在一个数学竞赛中,一个小学生在做题时遇到了这道题目,但是他不会等差数列求和公式,于是他请教了你,作为一个编程高手,你帮他写了一个程序来完成这道题目。

题目描述

给定一个整数 n n n,求出 ∑ i = 1 n i 3 \sum_{i=1}^{n}i^3 i=1ni3 的值。

输入描述

一个整数 n n n ( 1 ≤ n ≤ 1 0 9 ) (1≤n≤10^9) (1n109)

输出描述

一个整数,表示 ∑ i = 1 n i 3 \sum_{i=1}^{n}i^3 i=1ni3 的值。

输入样例

5

输出样例

225

解题思路

首先我们可以把题目中的公式简化一下,得到: ∑ i = 1 n i 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 \sum_{i=1}^{n}i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} i=1ni3=4n2(n+1)2

C++参考程序

#include 
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << (long long)n * n * (n + 1) * (n + 1) / 4 << endl;
    return 0;
}

说明:本题中使用了long long类型,来防止溢出。

第二题

题目背景故事

在这个世界上,有一种叫做“钻石”的矿物,它们排列在一个序列中,每一颗钻石都有一个价值,我们只能从这个序列中选出一些钻石,使得它们的价值是不下降的,并且要求出最多能选出多少颗钻石。

题目描述

给定一个长度为 n n n 的序列 a a a,求这个序列的最长不下降子序列的长度。

输入描述

一个整数 n n n ( 1 ≤ n ≤ 1 0 5 ) (1≤n≤10^5) (1n105),表示序列 a a a 的长度。
一个长度为 n n n 的序列 a a a

输出描述

一个整数,表示最长不下降子序列的长度。

输入样例

6
5 6 7 8 1 2

输出样例

4

解题思路

这是一道动态规划问题,我们可以建立一个 n n n 个元素的数组 d p dp dp d p i dp_i dpi 表示以第 i i i 个元素结尾的最长不下降子序列长度。

对于第 i i i 个元素,我们可以从 0 0 0 i − 1 i-1 i1 枚举所有的元素,如果 a j ≤ a i a_j \le a_i ajai,那么 d p i = m a x ( d p i , d p j + 1 ) dp_i = max(dp_i, dp_j+1) dpi=max(dpi,dpj+1)

C++参考程序

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], dp[N];
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        dp[i] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (a[j] <= a[i]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res = max(res, dp[i]);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

代码说明(此部分有ChatGPT补充说明):

  1. 初始化一个长度为 n n n的序列 a a a d p dp dp数组
  2. 1 1 1 n n n遍历 a a a数组,每次读入一个数,并将 d p i dp_i dpi初始化为 1 1 1
  3. 1 1 1 n n n遍历 a a a数组,对于每个 i i i,枚举 j j j,如果 a j ≤ a i a_j \le a_i ajai,那么更新
    d p i = m a x ( d p i , d p j + 1 ) dp_i = max(dp_i, dp_j+1) dpi=max(dpi,dpj+1)
  4. 1 1 1 n n n遍历 d p dp dp数组,取 m a x max max,最后输出结果。

第三题

题目背景故事

在研究一种新型材料的性质时,科学家们发现这种材料的性质与其成分之间存在线性关系,科学家们希望通过线性方程组来求解这种材料的组成成分。

题目描述:给出一个n元线性方程组 A × X = B A \times X=B A×X=B,其中 A A A是n*n的矩阵, X X X是n维的未知向量, B B B是n维的常数向量。求解此线性方程组的解 X X X

输入描述

第一行一个整数n,表示方程组的元数。
接下来n行,每行n个浮点数,表示矩阵A的元素。
接下来n行,每行1个浮点数,表示向量B的元素。

输出描述

n个浮点数,表示向量X的元素。

输入样例

3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
2
3

输出样例

-0.2857142857142857
0.8571428571428571
-0.2857142857142857

解题思路

高斯消元法

C++参考程序

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 110;
double a[N][N], b[N], x[N];
int n;

void Gauss()
{
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int k = i;
        for(int j = i + 1; j < n; j ++)
            if(fabs(a[j][i]) > fabs(a[k][i])) k = j;
        if(k != i)
            for(int j = 0; j <= n; j ++)
                swap(a[i][j], a[k][j]);
        for(int j = i + 1; j < n; j ++)
        {
            double t = a[j][i] / a[i][i];
            for(int k = i; k <= n; k ++)
                a[j][k] -= t * a[i][k];
        }
    }
    for(int i = n - 1; i >= 0; i --)
    {
        for(int j = i + 1; j < n; j ++)
            a[i][n] -= a[i][j] * x[j];
        x[i] = a[i][n] / a[i][i];
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        for(int j = 0; j < n; j ++)
            cin >> a[i][j];
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        cin >> b[i];
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        a[i][n] = b[i];
    Gauss();
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        cout << x[i] << endl;
    return 0;
}

上面的参考程序中的C++代码并没有考虑矩阵的特殊情况,如行列式为0,所以在实际应用中需要判断。

你可能感兴趣的:(c++,算法,开发语言,线性回归,动态规划)