线性代数学习笔记——线性方程组解的判定与解法

定理一

$n$元齐次线性方程组$A_{m\times n}x=0$有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩$R(A)<n$.当$R(A)=n$时(即$A$满秩)，只有零解.

定理二

$n$元非齐次线性方程组$A_{m\times n}x=b$有解的充分必要条件是系数矩阵$A$的秩等于增广矩阵$B=(A,b)$的秩.

小结

$$\begin{gathered} R(A)<R(B)⟺Ax=b无解 \\ R(A)=R(B)=n⟺Ax=b有唯一解 \\ R(A)=R(B)<n⟺Ax=b有无穷多解 \end{gathered}$$

齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；

解法

$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$$
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}l{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$$

建立增广矩阵：

$$\bar{\mathbf{A}}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}& b_n\end{array}\right]$$
若能将增广矩阵$\bar{\mathbf{A}}$做初等行变换化为如下形式的梯形矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& & & & {\xi }_1\\ & 1& & & {\xi }_2\\ & & \ddots & & ⋮\\ & & & 1& {\xi }_n\end{array}\right]$$
$$\text{则}{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots {\xi }_n\text{即为方程组的解}$$