第七章，相似矩阵及其应用，1-线性变换与相似矩阵

玩转线性代数(34)线性变换与相似矩阵的笔记，相关证明以及例子见原文

相似矩阵定义

以n维向量空间$R^n$为例，设L为$R^n$上的一个线性变换，向量组$\mathrm{I}:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_{\mathrm{n}}$和$\mathrm{II}:{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,...,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$为其两组基，两组基构成的矩阵分别为A和B，从基$\mathrm{I}$到基$\mathrm{II}$的过渡矩阵为$P=A^{-1}B$，线性变换L在基$\mathrm{I}$下的表示矩阵为M，在$\mathrm{II}$下的矩阵为N，对线性变换L而言，讨论M和N的关系：
设$R^n$中的一个向量$\xi$在两个基下的坐标分别为x,y，对它实施线性变换L，在基$\mathrm{I}$下有:$L(\xi )=M\xi$，在基$\mathrm{II}$下有：$L(\xi )=N\xi$,根据线性变换的特点有：
$L(\xi )=L(Ax)=AL(x)=AMx$
同时：$L(\xi )=L(By)=BL(y)=BNy=BN{P}^{-1}x$
$\Rightarrow AM=BN{P}^{-1}\Rightarrow M=A^{-1}BN{P}^{-1}=PN{P}^{-1}$
因此对于同一个线性变换L而言，在两组基下的表示矩阵M与N的关系为：
存在一个可逆矩阵P,使
$$M=PN{P}^{-1}$$
引入相似矩阵的概念，将符合上述关系的M、N称为相似矩阵，可以看出，相似矩阵实际上描述的是同一个线性变换，相似矩阵不过是$R^n$中的向量$\xi$在不同基下的表示矩阵而已

定义

设矩阵A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使$P^{-1}AP=B$，则称B是A的相似矩阵，也称A与B相似，对A进行行运算$P^{-1}AP$称对A进行相似变换，P为把A变成B的相似变换矩阵。

推广

只要是对角阵中主对角线上数相同，不管其顺序如何，矩阵都相似

理解

（1）从线性变换的角度：相似矩阵实际上是向量空间上同一个线性变换在不同基下的表示矩阵，即相似矩阵实际上对应于同一个线性变换。
（2）从初等变换的角度：因P是可逆矩阵，故$P=P_1{P}_{@}...P_l$，所以$B=P^{-1}AP=P_l^{-1}...P_2^{-1}{P}_1^{-1}A{P}_1{P}_2...P_l$，发现，在对A进行某种初等行变换时，相应地也要进行与之相似的初等列变换。
（3）相似关系是一种等价关系，满足反身性、对称性、传递性

性质

（1）秩同
根据定义可知，若A与B相似，则$A\sim B$，故$R(A)=R(B)$
（2）行列式相同
若A与B相似，则$|B|=|P^{-1}AP|=|P^{-1}||A||P|=|A|$
（3）特征多项式相同
（4）特征值相同
定理：A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而A与B的特征值相同
证明：$|B-\lambda E|=|P^{-1}AP-P^{-1}\lambda EP|=|P^{-1}||A-\lambda E||P|=|A-\lambda E|$，故A与B有相同的特征多项式，从而特征值相同。
（相似矩阵相同特征值对应的特征向量不一定相同，需求解$(A-\lambda E)x=0$与$(B-\lambda E)x=0$，看解是否相同
（5）迹同
矩阵的迹是对角线元素之和：
$trace(A)=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}$
由特征值性质：
${\lambda }_1+{\lambda }_2+...+{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$
得到相似矩阵A与B的迹相同，均为：
${\lambda }_1+{\lambda }_2+...+{\lambda }_n={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}={\sum }_{i=1}^n{b}_{ii}$

对角阵

若A与 ( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix} ​λ1​​λ2​​⋱​λn​​ ​相似，则A的特征值就是${\lambda }_1{\lambda }_2...{\lambda }_n$

这个结论很重要，也就是说在与A相似的矩阵中，对角阵的形式最简单，同时对角线上的元素就是其特征值．如果A是线性变换L的表示矩阵，那么如果通过基变换使线性变换L可以找到一个对角阵作为表示矩阵，比如
L ( x ) = ( λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = ( λ 1 x 1 λ 1 x 2 ⋮ λ n x n ) L(x)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda_1x_1\\ \lambda_1x_2\\ \vdots \\ \lambda_nx_n \end{pmatrix} L(x)= ​λ1​⋮0​⋯⋱⋯​0⋮λn​​ ​ ​x1​x2​⋮xn​​ ​= ​λ1​x1​λ1​x2​⋮λn​xn​​ ​
可以看出L对向量x的作用是在各个分量上乘以相对应的特征值。