代码随想录第四十五天|70. 爬楼梯 （进阶）、 322. 零钱兑换、279.完全平方数

70. 爬楼梯 （进阶）

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//70.爬楼梯
int climbStairs(int n) {
	vector dp(n + 1, 0);
	//dp[j]的含义是爬到j层高的楼梯有多少种方法
	dp[0] = 1;
	for (int j = 0; j <= n; j++) {
		for (int i = 1; i <= 2; i++) {
			if (j >= i) dp[j] += dp[j - i];
		}
	}
	return dp[n];
}

2.本题小节

        思考： 通过题意可以知道本题是完全背包求方法次数的排序问题，因此先遍历背包容量（台阶数），再遍历物品（每次可以爬多少阶），本题如果是每次可以爬1-m阶的话，第二个for循环2就应该变为m。

        基本思路：构建dp数组，初始化dp[0] = 1，这个一定不能初始化为0，两层for循环，注意j >= i时才能计算方法，方法次数的状态转移方程为dp[j] += dp[j - i];

322. 零钱兑换

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//322. 零钱兑换
int coinChange(vector& coins, int amount) {
	//dp数组的含义是填满容量为amount的背包所需要的最少硬币数目
	//由于要求的是最小个数，因此dp数组初始化为INT_MAX
	vector dp(amount + 1, INT_MAX);
	dp[0] = 0;
	//先遍历容量，再遍历物品
	for (int j = 0; j <= amount; j++) {
		for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
			if(j >= coins[i] && dp[j - coins[i]] != INT_MAX)
				dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
		}
	}
	if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
	return dp[amount];
}

 2.本题小节

        思考：本题是完全背包求解装满背包容量为amount所需要的最小物品（硬币）数目，本题不涉及到排序与组合问题，因此物品和背包遍历顺序可以颠倒，注意初始化时除了dp[0] = 0之外，其他的数都初始化为INT_MAX，如果dp[0]没有初始化为0的话，无法比较，都是INT_MAX，由于dp[j - coins[i]] 会为INT_MAX，因此为了防止dp[j - coins[i]] + 1越界，除了j >= coins[i]，dp[j - coins[i]] ！= INT_MAX，此时dp[j]不变，最后dp[amount] != INT_MAX时，return。

        基本思路：如上，注意初始化dp[0] = 0；完全背包求最小物品数与遍历顺序无关；注意越界的问题。

279.完全平方数

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//279 完全平方数
int numSquares(int n) {
	//step1 构建dp数组
	vector dp(n + 1, INT_MAX);
	//step2 状态转移方程
	//dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1)
	//step3 初始化数组
	dp[0] = 0;
	//step4 确定遍历顺序
	for (int j = 0; j <= n; j++) {
		for (int i = 1; i <= 100; i++) {
			if (j >= i * i && dp[j - i * i] != INT_MAX) 
				dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
		}
	}
	return dp[n];
}

2.本题小节

        思考：本题和上一题一样，包括初始化等，不同的是物品是从1到100 ，这里还有优化空间，可以让i <= 100，变为i * i <= j，这样遍历的物品更少，这里因为n最大为10000，所以我给物品的是1-100。