高中奥数 2021-09-25

2021-09-25-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P051 例7）

如图,已知两个半径不相等的圆与圆相交于、两点,且与分别与内切于、两点.求证:的充分必要条件是、、三点共线.

图1

证明

如图,连结、、、,作公切线、,由根轴定理知,、、三点共线.

又,所以、、、四点共圆.

、、、、五点共圆.

注意到、为切线,,.

故、、、、共圆、、共线.

~\

2021-09-25-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P051 例8）

设和分别为的外心和内心,的内切圆与边、、分别相切于点、、,直线和相交于点,直线与相交于点,点,分别为线段、的中点.求证:.

图2

证明

如图,考虑与截线.

由梅氏定理:

.

记的三边分别为、、,令,并不妨设,则

,.

而,

,

,

.

于是.

由于是到内切圆切线长,是点到内切圆的幂,而是到外接圆的幂.

等式“”表示点到外接圆与内切圆的幂相等,因而点在外接圆与内切圆的根轴上.

同理,点也在的外接圆与内切圆的根轴上,由根轴定理知.