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线性空间

• 线性空间是线性代数最基本的概念之一
• 线性空间是一个抽象的概念。
• 为了说明它的来源，在引人定义之前，先看儿个熟知的例子

几何空间

• 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。
• 向量的基本属性是可以按平行四边形法则作向量间的相加，也可以与实数作数量乘法。
• 不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的

$n$维向量空间

• 为了解线性方程组,我们以$n$元有序数组$(a_1,\cdots ,a_n)$作为元素的$n$维向量空间
• 对于$n$维向量,同样有加法运算和数量乘法运算:
  • $(a_1,\cdots ,a_n)+(b_1,\cdots ,b_n)$=$(a_1+b_1,\cdots ,a_n+b_n)$
  • $k(a_1,\cdots ,a_n)$=$(k{a}_1,\cdots ,k{a}_n)$

函数空间

• 对于函数也可以定义函数间加法和实数与函数的数量乘法
• 例如考虑全体定义再$[a,b]$上的连续函数$f_1(x),f_2(x)$,则$f_1(x)+f_2(x)$是连续的,$k{f}_1(x)$也是连续的

小结

• 从这些例子中我们看到,所考虑的对象虽然完全不同,但是它们有一个共同点,那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算.
• 当然,随着对象不同,这两种运算的定义也是不同的.
• 为了抓住它们的共同点,把它们统一起来加以研究,我们引入线性空间的概念.
  • 在第一个例子中,我们用实数和向量相乘.
  • 在第二个例子中用什么数和向量相乘,就要看具体情况.
    • 例如,在有理数域中解线性方程组时,用有理数去作数量乘法就已经足够了,
    • 而在复数域中解线性方程组时,就需要用复数去作运算.
    • 可见,不同的对象与不同的数域相联系.
• 当我们引入抽象的线性空间的概念时,也必须选定一个确定的数域作为基础.

线性空间的定义

非空集合在数域上的加法和数乘运算

• 设$V$是一个非空集合,$P$是一个数域.
• 在集合V的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法:
  • 对于V中任意两个元素$\mathbf{a},\mathbf{b}$,在V中都有唯一的一个元素$\mathbf{c}$与$\mathbf{a},\mathbf{b}$的加法结果对应,称$\mathbf{c}$为$\mathbf{a},\mathbf{b}$的和,记为$\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$.
• 在数域Р与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;
  • 对于数域$Р$中任一数$k$与$V$中任一元素$\mathbf{a}$ ,在$V$中都有唯一的元素$\mathbf{c}$对应于$k,\mathbf{a}$的数量乘结果,称为$\mathbf{c}$为$k,\mathbf{a}$ 的数量乘积,记为$\mathbf{c}=k\mathbf{a}$.
• Note:减法不是最基础的运算,在讨论线性空间性质的时候,可以由加法定义并导出减法运算

定义在非空集合与数域上的线性空间

• 若加法与数量乘法满足下述规则,那么$V$称为数域$P$上的线性空间.
• 下述规则中,$k,l\in P$,$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in V$
• 下述性质是最基础的性质,利用这些性质可以导出其他性质,乃至定义新运算

加法性质

• $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$
• $(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$
• $\exists 0$ s.t. $\forall \mathbf{a}\in V$,$0+\mathbf{a}=\mathbf{a}$;(具有该性质的元素$0$称为$V$的零元素)
• $\exists \mathbf{b}$ s.t. $\forall \mathbf{a}\in V$,$\mathbf{a}+\mathbf{b}=0$;(元素$\mathbf{b}$称为$\mathbf{a}$的负元素,可以记$\mathbf{b}=-\mathbf{a}$)

数乘性质

• $1\mathbf{a}=\mathbf{a}$
• $k(l\mathbf{a})=(kl)\alpha$

加法和数乘混合运算性质

• $(k+l)\mathbf{a}$=$k\mathbf{a}+l\mathbf{a}$
• $k(\mathbf{a}+\mathbf{b})$=$k\mathbf{a}+k\mathbf{b}$

线性空间举例

以下几个线性空间都强调了数域:

• 由定义,几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间
• 分量属于数域P的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间,这个线性空间我们用$P^n$来表示.

更具体例子

1. 数域P上一元多项式环$P[x]$,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法,构成一个数域P上的线性空间.
2. 如果只考虑其中次数小于$n$的多项式,再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间,用$P[x{]}_n$表示.
   • 它的一个基可以取$1,x^1,x^2,\cdots ,x^{n-1}$
   • 以实数域为例
     • 因为$f(x)={\sum }_{i=0}^{n-1}{k}_i{x}^i=0,\forall x\in R$只有当$k_i=0,i=0,1,\cdots ,n-1$恒成立
     • 可以借助代数学基本定理来解释:设$k_i,i=0,1,\cdots ,n-1$中至少有一个非0元素,不妨设其中非零最高次系数为$k$,则$f(x)$是一个$k$次多项式,则即使在复数域中,$f(x)=0$最多只有$k$个根,在$x$取其它值时$f(x)\ne 0$
     • 所以只有当$k_i=0,i=0,\cdots ,n-1$时,能保证$f(x)=0$恒成立
     • 因此$1,x^1,x^2,\cdots ,x^{n-1}$线性无关
3. 元素属于数域P的$m\times n$矩阵,按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法,构成数域P上的一个线性空间,用$P^{m\times n}$表示.
4. 全体实函数,按函数的加法和数与函数的数量乘法,构成一个实数域上的线性空间.
5. 数域Р按照本身的加法与乘法,即构成一个自身上的线性空间.

线性空间的元素:向量

1. 线性空间的元素也称为向量.(广义向量),这里所谓向量比几何中所谓"向量"的含义要广泛得多.
2. 线性空间有时也称为向量空间.
3. 我们经常是用黑体(粗体)的小写希腊字母或英文(拉丁)字母$\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }\cdots ;\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\cdots$ 代表线性空间V中的元素,
4. 用小写的拉丁字母$a,b,c,\cdots$代表数域P中的数.

线性空间的基础性质

• 零元素唯一

  • 设$0_1,0_2$都是零元素
  • $\mathbf{k}$=$0_1+0_2$
  • 由零元素的性质:$k=0_1+0_2=0_2$;
  • 由加法交换律:$k=0_1+0_2=0_2+0_1$=$0_1$
  • 可见$0_1=0_2=k$
  • 所以零元素唯一

• 负元素唯一

  • 设$\mathbf{b},\mathbf{c}$都是$\mathbf{a}$的负元素
  • 则$\mathbf{a}+\mathbf{b}=0$,$\mathbf{a}+\mathbf{c}=0$
  • $\mathbf{b}=\mathbf{b}+0=\mathbf{b}+(\mathbf{a}+\mathbf{c})=(\mathbf{b}+\mathbf{a})+\mathbf{c}=0+\mathbf{c}=\mathbf{c}$
  • 可见,满足条件$\mathbf{a}+\mathbf{b}=0$的$\mathbf{b}$唯一,即给定元素的负元素唯一

• 导出的数乘性质:

  • $0\mathbf{a}=0$;

    • $\mathbf{a}=1\mathbf{a}=(1+0)\mathbf{a}=\mathbf{a}+0\mathbf{a}$
    • 两边同时加上$-\mathbf{a}$得:$0=0\mathbf{a}$
    • 所以$0\mathbf{a}=0$
    • 特别的,当$\mathbf{a}=0$,有$00=0$

  • $k0=0$;

    • $k0=k(00)$=$(0k)0$=$00$=$0$

  • $(-1)\mathbf{a}=-\mathbf{a}$

    • $\mathbf{a}+(-1)\mathbf{a}$=$1\mathbf{a}+(-1)\mathbf{a}$=$(1-1)\mathbf{a}$=$0\mathbf{a}=0$
    • 两边同时加上$-\mathbf{a}$,得$(-1)\mathbf{a}=-\mathbf{a}$

  • 若$k\mathbf{a}=0$,则$k=0$或$\mathbf{a}=0$

    • $k=0$时显然满足$k\mathbf{a}=0$

    • $k\ne 0$时,$k^{-1}(k\mathbf{a})=k^{-1}0=0$;$k^{-1}(k\mathbf{a})=(k^{-1}k)\mathbf{a}=1\mathbf{a}=\mathbf{a}$

    • 由此$\mathbf{a}=0$

减法运算

• $\mathbf{b}$的负元素记为$-\mathbf{b}$
• 利用负元素可以定义线性空间内的减法:$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b})$

欧几里得空间(欧氏空间)

内积

• 设$V$是实数域$\mathbb{R}$上的一个线性空间,可在$V$上定义了一个二元函数,称为内积,记为$(\mathbf{a},\mathbf{b})$
  • 线性空间可以是:向量空间,函数空间
  • 内积具有以下性质(要求):
    • $(\mathbf{a},\mathbf{b})=(\mathbf{b},\mathbf{a})$
    • $(k\mathbf{a},b)=k(\mathbf{a},\mathbf{b})$
    • $(\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{c})=(\mathbf{a},\mathbf{c})+(\mathbf{b},\mathbf{c})$
    • $(\mathbf{a},\mathbf{a})⩾0$,当且仅当$\mathbf{a}=0$时取等号
  • 其中$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in V$,$k\in \mathbb{R}$

欧几里得空间

• 可以定义内积的线性空间称为欧几里得空间

几何空间中的向量全体构成欧几里得空间

• 几何空间中向量的内积显然满足欧式空间定义中的条件,所以,几何空间中向量全体构成一个欧几里得空间
• 几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型
• 在解析几何中,向量的长度和夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示;向量内积有明显的代数性质,所以在抽象的讨论中,我们取内积作为基本概念