【线性代数学习笔记（一）】矩阵表示法和矩阵乘法规则是怎么来的？

目录

• 求解线性方程组：高斯消元法
• 简化线性方程组的表示——得到原始的矩阵定义
• 用矩阵的表示方法表示高斯消元法解线性方程组的过程——得到矩阵乘法的原始定义

求解线性方程组：高斯消元法

电视的转播过程是这样的：

因此从电视信号线传过来的是YCrCb三个颜色通道的数字信号，此时如果使用的是彩色电视，就需要

这种信号编码方式的转换本质上就是在解方程组：

那么如何解这个线性方程组呢？

我们大家都学过的一种比较通用的方法就是高斯消元法

得到最终结果：

简化线性方程组的表示——得到原始的矩阵定义

当然，解线性方程组使用高斯消元法，基本上就是最优的求解方法，但是整个求解过程若按照上面这样去表示，表示起来是比较复杂的

因此有一个英国的数学家叫阿瑟·凯莱就提出用矩阵去表示线性方程组，以及线性方程组的求解过程

以一个简单的线性方程组为例进行说明：

对于上述方程组，未知数x，y根本不重要，所以可以用一种称为矩阵的紧凑的阵列来表示，把未知数的系数提出来：

称为系数矩阵，而把等号右边的数字一起提出来：

称为增广矩阵

用矩阵的表示方法表示高斯消元法解线性方程组的过程——得到矩阵乘法的原始定义

还是以上面提到的方程组为例进行说明

高斯消元法的目标是进行下面形式的转换：

用矩阵表示就是：

我们来看对这个原始方程组用高斯消元法进行消元的第一步

用第一个方程消去第二个方程的第一个系数：

得到

我们已经成功尝试利用矩阵来表示方程组了，但是好像对方程组的求解并没有什么用，那么我们能否利用矩阵表示方式来简化方程组的求解过程呢？

首先，可以将矩阵看作是两个行向量，那么上面的计算可以通过矩阵表示为：

这个过程实际上包含了两个步骤：

• 第一行不变，即：
• 第二行改变，即：

首先第一行不变，即

其次，第二行改变，即

凯莱规定，把第一行运算的结果放在第一行，第二行的结果放在第二行，即

这就是矩阵乘法的最初的定义

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参考资料：

(1) 微信公众号·马同学高等数学《图解线性代数》