向量复习（一）：定义、求解、四则运算、点积和叉积

首先，我们先来复习一下二维空间几何求交涉及的向量相关知识，方便那些数学基础不太好或好多年未接触数学的童鞋们。楼主就是其中一员哦，6-7年没有再碰高中数学了，所以对于向量比较熟悉的童鞋可以跳过这部分内容。

1. 向量的定义

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。¹

定义大家应该都能明白，但是需要注意一点：给定的向量并不是固定不动的，它不像线段，起始和中止点都是固定的，向量是可以随意平移的，但线段不行，这点后面我们也会说。

2. 向量的表示

向量有两种表示方式：1. 几何表示法；2. 坐标表示法；几何表示法如下图¹：

而坐标表示法比较重要，后面所涉及的都是这种方法，如下图¹：

简单来说，向量(a, b)（以下简称v(a, b)），表示往x轴正方向移动a个单位，往y轴正方向移动b个单位。比如说v(4, 2)，如下图所示：

每个虚线小箭头表示一个单位，我们可以看到从(2, 2)为起点，向x正方向移动4个单位，然后向y轴正方向移动2个单位，最后连接首尾两点的有向线段即为v(4, 2)。注意，我们之前提到向量可以随意平移，所以下面两组向量都表示同一个向量，即使它们的起点和终点并不相同：

也就是说，向量和起始终止位置无关，之和移动的方向和大小有关系。也可以说向量是动态的，而线段是静态的，这点大家需要注意啦哒~

3. 向量的求解

如果我们已知两个坐标点，如何求解这两点所表示的向量呢？方法也很简单：

v(a, b) = point1 - point2 = v(point1.x - point2.x, point1.y - point2.y)

其实就是两个坐标点x和y相减，那向量方向为：point2为起始点，point1为中止点，比如下面两点 (2,2) 和 (4,4)，可以表示两个相反方向但模相同的向量（模即为向量的长度）：

v(2, 2):

v(-2. -2):

所以大家在用坐标求解向量的时候一定要注意方向哦。

4. 向量的四则运算

4.1 加法

两个向量相加，一般使用三角形法则或四边形法则。比如v(4, 0) + v(0, 2) = v(4, 2)：

从上图可以看出，最终求解的向量（标红）即为另外两个向量所组成的三角形的边。或者我们将v(4, 0) 和 v(0, 2)平移到对面的方向，组成一个平行四边形，那么最终求解的向量为这个平行四边形的内对角线：

而且我们也可以注意到，向量相加即为两个向量坐标之和：

/**
 * vector addition
 * */

public Vector add( Vector vector ) {
	// 无视minsID
    return new Vector( x + vector.x, y + vector.y, minsID-- );
}

4.2 减法

其实向量的减法可以看成加上一个方向相反的向量，所以同样适用三角形或平行四边形法则。还是上面的例子，这次我们减去v(0, 2)，即加上v(0, -2)：

另外注意，向量的运算需要两两向量首尾相连才能运算，所以下面右边这种是不允许的：

/**
 * vector subtract
 * */

public Vector subtract( Vector vector ) {
    return new Vector( x - vector.x, y - vector.y, minsID-- );
}

4.3 乘法和除法

这里的乘法和除法并不是两个向量的乘法和除法，而是和一个常量相乘和相除。向量之间的乘法是后面会讲的点积和叉积，但向量之间没有除法。向量和常量相乘或相除，大家可以理解为两个向量之间的比例关系，我们用最简单的共线向量（即平行向量）来举例：

如果只看两者的模，我们知道 |v(8,0)| = 4|v(2,0)|，或者 |v(8,0)| / 4 = |v(2,0)|；上面表达了两个向量之间模的比例，但我们也可以直接用向量来表示两者之间的关系：v(8,0) = 4v(2,0)，或者 v(8,0) / 4 = v(2,0)；也就是说四分之一个v(8,0)即为v(2,0)，4个v(2,0)即为一个v(8,0)：

理解了这些概念，那么相应的代码也是很简单了：

/**
 * vector multiplication
 * */

public Vector multiply( float ratio ) {
    return new Vector( ratio * x , ratio * y, minsID-- );
}

/**
 * vector division
 * */

public Vector division( float ratio ) {
    return new Vector( x / ratio , y / ratio, minsID-- );
}

同时，楼主给到的图例也说明了向量四则运算的几何关系，大家可以注意下呢。

5. 点积和叉积

这部分主要介绍点积和叉积的计算方法和几何意义，至于其他详细的内容，有兴趣的童鞋可以参考这篇文章：向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义。

5.1 点积

先介绍一下点积的基本求解形式²，如果给定两个向量a和b：

则它们的点积定义为：

其实就是两个向量的每个变量两两相乘，再相加：

/**
 * dot multiplication, vector * vector
 * */

public static float dot( Vector vector1, Vector vector2 ) {
    return vector1.x * vector2.x + vector1.y * vector2.y;
}

点积的几何意义也很简单：向量b在a上面的投影。注意，这里也说明了点积的结果为常量，而非向量：

图上红色部分即为v(3,4)在v(8,0)上面的投影，至于点积的其他内容，请参看上面提到的文章。

5.2 叉积

叉积的一般计算求解需要用到矩阵乘法，而后面涉及的几何求交主要是二维坐标，所以这里直接介绍二维坐标的乘法：即x和y交叉相乘，再相减。

/**
 * cross multiplication,  vector x vector
 * */

public static float cross( Vector vector1, Vector vector2 ) {
    return vector1.x * vector2.y - vector1.y * vector2.x;
}

叉积的几何意义相对复杂一些：1）其模等于两个向量所组成的平行四边形的面积；2）方向为垂直于两个向量所在平面。所以叉积和点积不一样，叉积的结果是向量，而不是常量。大家可以看下面图示²来理解：

6. 模的求解

模的求解最简单的方法就是两点之间的距离公式，这点我们从上面的向量几何意义就能看出来，但是这样计算太复杂了。还记得我们说过向量可以自由平移么？那么为何不把向量平移到原点，然后再计算其模呢？通过这样的处理，一个向量的模可以使用其坐标直接求解，而不用两点间的距离公式：

/**
 * vector's norm, but without radical
 * */

public float normWithoutRadical() {
    return x * x + y * y;
}

/**
 * vector's norm
 * */

public float norm() {
    return ( float ) Math.sqrt( normWithoutRadical() );
}

norm()是开方之后的结果，normWithoutRadical()则没有开方，后面两个都有用到，因为有些时候我们不需要开方，可以减少浮点数计算误差。

通过这样，我们可以求得向量的模。我们最后再提一下一个概念：单位向量(e)，即模为1的向量。那么，给定一个向量如何求得e呢？其实很简单：

e(a, c) = v(a, b) / |v(a, b)|

也就是向量除以它的模，即为每个单位的向量。

好啦，向量先复习到这里，以后有遇到更多知识再来讲解哒~接下来，我们将开始正式讲解两种几何求交的问题：直线和直线，圆和直线。

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几何求交（一）：直线和直线的交点

几何求交（二）：直线和圆的交点

7. 附录：代码

1. 代码：Vector.java
2. 项目代码：Algorithm Repository

8. 免责声明

※ 本文之中如有错误和不准确的地方，欢迎大家指正哒~
※ 此项目仅用于学习交流，请不要用于任何形式的商用用途，谢谢呢；

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1. 向量 ↩︎ ↩︎ ↩︎

2. 向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义 ↩︎ ↩︎