深入探讨梯度下降：优化机器学习的关键步骤（一）

引言

在机器学习领域，梯度下降是一种核心的优化算法，它被广泛应用于训练神经网络、线性回归和其他机器学习模型中。本文将深入探讨梯度下降的工作原理，并且进行简单的代码实现

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什么是梯度下降？

梯度下降是一种迭代优化算法，旨在寻找函数的局部最小值（或最大值）以最小化（或最大化）一个损失函数。在机器学习中，我们通常使用梯度下降来最小化模型的损失函数，以便训练模型的参数。
这里顺便提一嘴，与梯度下降齐名的梯度上升算法目的是使效用函数最大。

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损失函数

在使用梯度下降之前，我们首先需要定义一个损失函数。损失函数是一个用于衡量模型预测值与实际观测值之间差异的函数。通常，我们使用均方误差（MSE）作为回归问题的损失函数，使用交叉熵作为分类问题的损失函数。

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梯度(gradient)

梯度是损失函数相对于模型参数的偏导数。它告诉我们如果稍微调整模型参数，损失函数会如何变化。梯度下降算法利用梯度的信息来不断调整参数，以减小损失函数的值。

梯度下降的工作原理

梯度下降的核心思想是沿着损失函数的负梯度方向调整参数，直到达到损失函数的局部最小值。具体来说，梯度下降的步骤如下：

• 初始化模型参数：首先，随机初始化模型参数或使用某种启发式方法。

• 计算损失和梯度：使用当前模型参数计算损失函数的值，并计算损失函数相对于参数的梯度。

• 参数更新：根据梯度的方向和学习率（learning rate）本文我称其为eta，更新模型参数。学习率是一个控制步长大小的超参数，它决定了每次迭代中参数更新的大小。

• 重复迭代：重复步骤2和3，直到损失函数的值收敛到一个稳定的值，或达到预定的迭代次数。

梯度下降的变种

在梯度下降的基础上，发展出了多种变种算法，以应对不同的问题和挑战。其中一些常见的包括

随机梯度下降（SGD）

随机梯度下降每次只使用一个随机样本来估计梯度，从而加速收敛速度。它特别适用于大规模数据集和在线学习。

批量梯度下降（BGD）

批量梯度下降在每次迭代中使用整个训练数据集来计算梯度。尽管计算开销较大，但通常能够更稳定地收敛到全局最小值。

小批量梯度下降（Mini-Batch GD）

小批量梯度下降综合了SGD和BGD的优点，它使用一个小批量样本来估计梯度，平衡了计算效率和收敛性能。

如何选择学习率？

学习率是梯度下降的关键超参数之一。选择合适的学习率可以加速收敛，但过大的学习率可能导致不稳定的训练过程。通常，我们可以采用以下方法选择学习率：

• 网格搜索：尝试不同的学习率值，通过验证集的性能来选择最佳值。

• 学习率衰减：开始时使用较大的学习率，随着训练的进行逐渐减小学习率。

• 自适应学习率：使用自适应学习率算法，如Adam、Adagrad或RMSprop，它们可以自动调整学习率以适应梯度的变化。

梯度下降的相关数学公式

本人数学不好，这里有说的不清楚的地方还请见谅，谢谢佬~
首先我们通过图像认识一下损失函数

这里的步长指的是，可能有些人会好奇为啥有一个负号呢？因为对称轴左侧的导数都是负值，这里加一个负号不就正了嘛

具体推导过程请查看相关佬的文章（哭~）

梯度下降的实现（代码）

首先我们导入我们需要的库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

之后我们需要举一个例子，这里我们采用numpy里面的一个分割函数linspace，同时我们举一个函数的例子

plt_x = np.linspace(-1,6,141)
plt_y = (plt_x-2.5)**2-1

之后我们使用show进行展示一下图像

plt.plot(plt_x,ply_y)
plt.show()

运行结果如下

上图看起来就是一个普通的曲线，方便我们进行理解

接下来我们需要两个函数，一个为了返回导数，一个为了返回对应的y值

def dj(thera):
    return 2*(thera-2.5) # 求导
def j(thera)
    return (thera-2.5)**2-1  # 求对应的值

接下来是梯度下降的关键位置了，这里我们需要初始化两个参数以及一个范围参数，同时设置一个while循环，将前一个thera保存在last_thera中，后一个thera是前一个thera和步长的差值，这里的步长就是梯度个参数eta的乘积，最后使用if函数来终结循环，最终我们将最小值点的值、导数、以及自变量打印出来

eta = 0.1
theta =0.0
epsilon = 1e-8
while True:
    gradient = dj(theta)
    last_theta = theta
    theta = theta-gradient*eta 
    if np.abs(j(theta)-j(last_theta))<epsilon:
        break
        
print(theta)
print(dj(theta))
print(j(theta))

运行结果如下

这里我们也可以使用列表来看看到底进行了多少次thera的循环

eta = 0.1
theta =0.0
epsilon = 1e-8
theta_history = [theta]
while True:
    gradient = dj(theta)
    last_theta = theta
    theta = theta-gradient*eta 
    theta_history.append(theta)
    if np.abs(j(theta)-j(last_theta))<epsilon:
        break
        
print(theta)
print(dj(theta))
print(j(theta))

len(theta_history)

运行结果如下

还可以绘制图像进行直观查看

plt.plot(plt_x,plt_y)
plt.plot(theta_history,[(i-2.5)**2-1 for i in theta_history],color='r',marker='*')
plt.show()

运行结果如下

这样的话就很直观了吧~

总结

本节只介绍梯度下降的简单实现，下节继续学习此法中eta参数的调节

挑战与创造都是很痛苦的，但是很充实。