图的深度优先与广度优先遍历

上篇博客介绍了图的概念与图的存储(邻接矩阵、邻接表)：   接下来就是介绍图的遍历。

图的遍历

        给定一个图G和其中任意一个顶点v0，从v0出发，沿着途中各边访问图中的所有顶点，且每个顶点仅被遍历一次。"遍历"即对结点进行某种操作的意思。

广度优先遍历

遍历原理

比如现在要找东西，假设有三个抽屉，东西在那个抽屉不清楚，现在要将其找到，广度优先遍历的做法是：

1. 先将三个抽屉打开，在最外层找一遍。

2. 将每个抽屉中的红色的盒子打开，再找一遍。

3. 将红色盒子中绿色盒子打开，再找一遍

找完所有的盒子，注意：每个盒子只能找一次，不能重复找。

 第一个顶点入队列，然后再入与A顶点连通的顶点，再出A顶点，入与A顶点连通的顶点——B、C、D，当B出队列时，再入队列与B顶点联通的顶点，即A、C、E，因为A顶点之前已经入过队列了，则出现一个问题：如何防止节点被重复遍历。

则我们实现广度优先遍历要使用一个队列和一个标记结构(vector)。

实现步骤

1. 将顶点放入队列中。

2. 取出队列头部数据，将其标记数组中标记为已访问。

3. 把与该顶点相连通的顶点再放入队列中，在临界矩阵中则是纵向遍历。

4. 直到队列为空

void BFS(const V& src)  //src是遍历的起点
{
	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	//队列中存放下标
	queue q;
	q.push(srci);
	//标记位图
	size_t sz = _vertexs.size();
	vector visited(sz, false);
	//如果不为空，就入队列
	while (!q.empty())
	{
		int front = q.front();
		q.pop();
		cout << front << ":" << _vertexs[front] << endl;
		//标记该结点
		visited[front] = true;
		//将front的邻接顶点入队列
		for (size_t i = 0; i < sz; i++)
		{
			if (_matrix[front][i] != INT_MAX)
			{
				//如果该顶点没有出现过
				if (visited[i] == false)
				{
					q.push(i);
					visited[i] = true;
				}
			}
		}
	}
}

测试代码：

该测试代码的逻辑连通图：

广度优先遍历的应用

这道题目的实际就是让你实现广度优先遍历时实现对层数的控制。

具体实现就是在我们出完一度好友后，能够获取到下一度好友的数量，这个数量其实就是当前队列中剩余的好友的数量。

void BFS_level(const V& src)  //src是遍历的起点
{
	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	//队列中存放下标
	queue q;
	q.push(srci);
	//标记位图
	size_t sz = _vertexs.size();
	vector visited(sz, false);
	int levelsize = q.size();
	//如果不为空，就入队列
	while (!q.empty())
	{
		for (int l = 0; l < levelsize; l++)
		{
			int front = q.front();
			q.pop();
			cout << front << ":" << _vertexs[front] << " ";
			//标记该结点
			visited[front] = true;
			//将front的邻接顶点入队列
			for (size_t i = 0; i < sz; i++)
			{
				if (_matrix[front][i] != INT_MAX)
				{
					//如果该顶点没有出现过
					if (visited[i] == false)
					{
						q.push(i);
						visited[i] = true;
					}
				}
			}
		}
		cout << endl;
		levelsize = q.size();
	}
}

运行结果：

深度优先遍历

遍历原理

如果使用深度优先遍历，那在这三个抽屉中找东西的步骤则是这样的：

1. 先将第一个抽屉打开，在最外层找一遍

2. 将第一个抽屉中的红盒子打开，在红盒子中找一遍

3. 将红盒子中绿盒子打开，在绿盒子中找一边

4. 递归查找剩余的两个盒子

深度优先遍历：将一个抽屉一次性遍历完(包括该抽屉中包含的小盒子)，再去递归遍历其他盒子。

实现步骤

1. 取到该顶点，然后调用_DFS函数

2. _DFS函数中打印该顶点，然后将其标记

3. 遍历与该顶点相连通的顶点，在临界矩阵中则是纵向遍历。

4. 如果与其连通的不是顶点有权值，并且未访问过，则调用_DFS.

//深度遍历
void DFS(const V& src)
{
	cout << "DFS:" << endl;
	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	vector visited(_vertexs.size(), false);
	_DFS(srci, visited);
}
void _DFS(size_t srci, vector& visited)
{
	cout << srci << ": " << _vertexs[srci] << endl;
	//标记该点已访问
	visited[srci] = true;
	//找一个srci相邻并未访问的顶点，去深度遍历
	for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
	{
		if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false)
		{
			_DFS(i, visited);
		}
	}
}

测试：

如果我们传入的是张三，则会遍历张三连通的节点，即李四，李四再遍历连通的节点，因为李四中张三是访问过的，则跳过张三，然后李四发现没有顶点与其连通，则返回。依次过程进行遍历。结果如上图。

非连通图的遍历

如果给定的图不是连通图，以某个点位起点就没有遍历完成。

以下图逻辑为例：

我们需要如果想将其全部遍历，则要配合使用我们的visited数组，遍历visited数组，将其中没有出现过的顶点作为参数再次调用DFS或BFS函数。

以下以DFS举例：

//深度遍历
void DFS(const V& src)
{
	cout << "DFS:" << endl;
	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	vector visited(_vertexs.size(), false);
	_DFS(srci, visited);
	//遍历未连通的顶点
	for (size_t i = 0; i < visited.size(); i++)
	{
		if (visited[i] == false)
		{
			_DFS(i, visited);
		}
	}
}
void _DFS(size_t srci, vector& visited)
{
	cout << srci << ": " << _vertexs[srci] << endl;
	//标记该点已访问
	visited[srci] = true;
	//找一个srci相邻并未访问的顶点，去深度遍历
	for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
	{
		if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false)
		{
			_DFS(i, visited);
		}
	}
}

遍历结果：