2021-07-23-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P019 例1）
一个正整数,加上,为一完全平方数,若加上,则为另一个完全平方数,求此数.
解
设所求的数为,由题意,有正整数、、,使得.
从上面两个方程中消去,得出.
将这个二元二次方程的左边分解因式,而将右边作标准分解,得.(*)
由于及都是正整数,且,故由(*)及唯一分解定理推出,必有
;;.
逐一解这些二元一次方程组,可得出,,故.
2021-07-23-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P020 例2）
求不定方程:的全部整数解.
解
关键的一步是看出方程可分解为.(*)
因素数2整除()的右边,故()的左边四个因数中至少有一个被整除.
另一方面,这四个数中任意两个的和显然是偶数,故它们的奇偶性相同,从而现在都是偶数,即()的左边被整除,但()的右边不是的倍数,因此方程无整数解.
2021-07-23-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P020 例3）
证明:两个连续正整数之积不能是完全平方,也不能是完全立方.
证明
反证法,假设有正整数,,使得将方程两边乘以,变形为
,
这可分解为.
因左边两个因数都是正整数,故有
,
解得,矛盾.
这就证明了问题中的第一个断言.
然而,对于方程,
设所说的方程有正整数解、,则由于和互素,而它们的积是一个完全立方,故和都是正整数的立方,即
,,,
,都是正整数,由此产生,故
,
这显然不可能.
所以两个连续正整数之积不能是完全平方,也不能是完全立方.
2021-07-23-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P021 例4）
证明:方程没有的整数解.
证明
设方程有的整数解,将它分解为
.(*)
先证明.若这不正确,则有一个素数为与的一个公约数.
由()知,故素数整除,结合知,但,从而,这不可能,故()的左边两因数互素.
因(*)的右边是一个完全立方,从而有整数、,使得
,,.
消去,得到
.(**)
现在证明方程(**)无整数解,由此便导出了矛盾.
将(**)分解为
.(***)
注意而,故.
若,则由()易知,因、为整数,故,于是()的左边右边;
若,则,故()的左边的绝对值;,而()的右边的绝对值,因此(***)不能成立,这就证明了问题中的方程没有的整数解.
2021-07-23-05
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P022 例5）
设是给定的正整数,,证明:连续三个正整数的积不能是整数的次幂.
证明
假设有正整数及,使得
.(*)
请注意上面左端的三个因数、、并非总两两互素,因此不能由(*)推出它们都是次方幂.
将()变形为.(*)
因和互素,故由(**)推出,有正整数、使得
,,,
由此我们有
,
由于,故,又,故上式后一个因数必大于,导出矛盾.
2021-07-23-06
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P022 例6）
求的全部整数解.
解
因方程左边,故右边,从而.
又显然,而为整数,故,或.
当时,方程左边.
当时,此时,且,故方程左边.
因此由原方程产生
,
故有.逐一检验可求出全部整数解为.
2021-07-23-07
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P022 例7）
设正整数、、满足,则.
证明
首先,将展开即知
,
由此可知、必须均:因若、中有大于的,无妨设,因、为整数,故,从而
,
产生矛盾.
因此,,故
,
结合原方程知,必须有,且,故.证毕.
2021-07-23-08
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P023 习题1）
证明:连续四个正整数之积不能是一个完全平方数.
证明
设,、都是正整数.则有,易知这不可能.
2021-07-23-09
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P023 习题2）
求出所有可以表示为两个整数平方差的整数.
解
设整数可表示为两个整数的平方差:,即.由于与的奇偶相同,故或者是奇数,或者被整除.
反过来,若为奇数,可取,,即,;,可取,,即,,则.
2021-07-23-10
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P023 习题3）
求不定方程组的全部整数解.
解
从方程组中消去,得到
,
变形为
,
即.故,从而,即.
逐一代入原方程组检验,可求出全部整数解为
.
2021-07-23-11
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P023 习题4）
求的全部整数解.
解
首先注意,若,则由原方程推出,即介于两个相邻的完全立方之间,这不可能.
故必有,得整数.
代入原方程检验,可求得全部整数解为.
2021-07-23-12
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（一） P023 习题5）
求所有正整数、,使,均是完全平方数.
解
设,由于、为正整数,故,.
设,,这里、为正整数.由
,
可化为
.
解这个关于、的二元一次方程组得.
因、为正整数,故,因、为正整数,故或,即.
相应地求得.