P1220 关路灯（区间DP+思维）

题目链接：关路灯 - 洛谷

分析：这道题是一道比较好的区间DP题，首先从状态表示上来说，仅仅表示哪些灯亮着是不行的，还需要表示出当前所在的位置，一开始我以为这是一道状压DP，但是看了一眼数据范围发现用状压来解决肯定TLE，我们需要先想明白一个问题，就是有没有一种可能是在动态转移过程中最优答案的顺序包含一种i和j灯都已经被关掉但是i和j中间的灯还有没被关掉的？仔细想想发现这种情况是不可能存在的对吧，因为i和j灯都被关掉说明i和j之间的所有灯都被经过了，关灯又不需要时间，我们为什么不直接关掉呢？这也是这道题为什么可以用区间DP解决的原因。所以可以得到的一个结论是，在动态转移过程中被关掉的灯一定是连续的而不可能是间断的，所以我们就可以令f[i][j][0/1]表示i~j的灯已关闭且当前位置在i/j的时候最少的功耗，然后我们就可以进行动态转移了

下面我们来思考一下如何计算每次的功耗，这个比较简单就是（总的功率-已经灭掉的功率）*当前动态转移所需时间即可，我们可以令sum[i]表示前i个灯的功耗是多少，这样我们就可以o(1)求出连续区间的功耗，这样的话本道题就只剩下动态转移方程了，下面进行动态转移方程的讲解：

对于f[i][j][0]来说，我们枚举中间点k，这个肯定是由f[k][j][0/1]来更新的，因为f[i][j][0]表示最终位置在i，说明i这个位置的灯还没被关掉，所以不可能是由f[i][k][0/1]来进行更新，具体更新也比较简单，比如f[k][j][0]表示当前在k点，要向i点走，总地时间就是a[k]-a[i],这段时间里亮着的灯的功率为sum[n]-(sum[j]-sum[k-1]),因为k~j的灯都已经被关灭，所以动态转移方程就是这样的了，其他的状态也是一样的，我就不一个一个分析了，下面是动态转移方程代码：

f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[k][j][0]+(a[k]-a[i])*(sum[n]-(sum[j]-sum[k-1])));//当前位置在k且向i走
f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[k][j][1]+(a[j]-a[i])*(sum[n]-(sum[j]-sum[k-1])));//当前位置在j且向i走
f[i][j][1]=min(f[i][j][1],f[i][k][0]+(a[j]-a[i])*(sum[n]-(sum[k]-sum[i-1])));//当前位置在i且向j走
f[i][j][1]=min(f[i][j][1],f[i][k][1]+(a[j]-a[k])*(sum[n]-(sum[k]-sum[i-1])));//当前位置在k且向j走

至于初始化就比较简单了，一开始在的位置是pos，那么直接令f[pos][pos][0]=f[pos][pos][1]=0即可

下面是完整代码：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=53;
ll f[N][N][2];//f[i][j][0/1]表示i~j的灯已关闭且当前位置在i/j的时候最少的功耗
ll a[N],sum[N];//sum[i]表示前i个灯1s的功耗 
int main()
{
	int n,pos;
	cin>>n>>pos;
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[pos][pos][0]=f[pos][pos][1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld",&a[i],&sum[i]),sum[i]+=sum[i-1];
	for(int len=2;len<=n;len++)
	for(int i=1;i+len-1<=n;i++)
	{
		int j=i+len-1;
		for(int k=i;k<=j;k++)
		{
			f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[k][j][0]+(a[k]-a[i])*(sum[n]-(sum[j]-sum[k-1])));//当前位置在k且向i走
			f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[k][j][1]+(a[j]-a[i])*(sum[n]-(sum[j]-sum[k-1])));//当前位置在j且向i走
			f[i][j][1]=min(f[i][j][1],f[i][k][0]+(a[j]-a[i])*(sum[n]-(sum[k]-sum[i-1])));//当前位置在i且向j走
			f[i][j][1]=min(f[i][j][1],f[i][k][1]+(a[j]-a[k])*(sum[n]-(sum[k]-sum[i-1])));//当前位置在k且向j走
		}
	}
	printf("%lld",min(f[1][n][0],f[1][n][1])); 
	return 0;
}