算法 - 二分

题目 - 整数二分需要考虑边界

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

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思路

$1.$ 升序整数数组，查找一个数x在该数组中的范围[l,r]，依据数x可以把数组分为两部分：大于等于x的部分，小于x的部分。先找左边界，再找右边界。

$2.$ 左边界：x的左边都小于x，右边都大于等于x；中间的数mid与x比较，mid >= x，说明x在[l,mid]范围，包含mid，因为mid可能是x；反之mid < x，说明x在[mid + 1, r]范围内，不包含mid，因为mid一定小于x。

右边届：x的左边都小于等于x，右边的数都大于x；中间的数mid与x比较，mid <= x，说明x在[mid, r]范围，包含mid，因为mid可能是x；反之mid > x,说明x在[l, mid - 1]范围内，不包含mid，因为mid一定大于x。

$3.$ 注意求mid时，一个是l + r >> 1;一个是l + r + 1 >> 1;这个+1是为了防止l = r - 1时即l与r相邻时导致的死循环问题。

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code

#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int q[N];

int n, m;

int main(){
    scanf("%d %d", &n, &m);
    
    for(int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &q[i]);
    
    while(m --){
        int x;
        scanf("%d", &x);
        
        int l = 0, r = n - 1;
        
        while(l < r){
            int mid = l + r >> 1;
            if(q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        
        if(q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else{
            cout << l << " ";
            
            l = 0, r = n - 1;
            
            while(l < r){
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if(q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << r << endl;
        }
        
    }
    return 0;
}

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开平方 - 浮点数二分

求一个数的平方根

code

#include 

using namespace std;

int main(){
	double x;
	cin >> x;
	double l = 0, r = x;
	while(r - l > 1e-6){//for(int i = 0; i < 100; i ++) 循环100次也行
		double mid = (l + r) / 2;
		if(mid * mid >= x) r = mid;
		else l = mid;
	}
	printf("%lf\n", l);
	return 0;
}

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code core

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

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$END$