建堆的时间复杂度分析

现在常有两种建堆的方法,而这两种方法又有着不同的时间复杂度。下面分别陈述:

(1)自顶向下的建堆方式

这种建堆的方法具有O(n*log2n)的时间复杂度。从根结点开始,然后一个一个的把结点插入堆中。当把一个新的结点插入堆中时,需要对结点进行调整,以保证插入结点后的堆依然是大根堆。

其中h = log2(n+1)-1,第k层结点个数为2k个(当然最后一层结点个数可能小于2h)。第k层的一个结点插入之后需要进行的比较(移动)次数为k。于是总的比较(移动)次数为∑k2k(k = 0,1,2,…,h)。可以求得∑k2k(k = 0,1,2,…,h)=(log2(n+1)-2)(n+1)+2 = O(nlog2n)

(2)自下向上的建堆方式

这种建堆的方法具有O(n)的时间复杂度。如下图所示,从第一个非叶子结点开始进行判断该子树是否满足堆的性质。如果满足就继续判断下一个点。否则,如果子树里面某个子结点有最大元素,则交换他们,并依次递归判断其子树是否仍满足堆性质。

因为调整根结点以及其左右孩子的位置的复杂度是O(1),再加上对其子树的递归判断是否满足堆性质需O(h),而在任意高度h上,至多有[n/2^(h+1)]个结点。则总共的时间复杂度为∑h*(n)/(2(h+1)).根据调和级数的积分公式可得,时间复杂度为O(n)。

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