离散数学（下）第十一章 格与布尔代数

1.格的定义

理解：
（1）最小上界和最大下界可能属于集合，也可能不属于，但必须与集合中的所有元素都有直接的相连关系
（2）最小上界和最大下界都是唯一的
（3）最小上界：并 最大下界：交
2.格的例子
（1）是格的例子：
<1>

<2>备注：该例答案在下面例子中

<3>子群集合构成的格（子群格）

理解：集合的交会缩小范围，但是集合并会扩大范围，故为了运算的封闭性需要通过生成子群来补全集合中缺少的元素
（2）不是格的例子

3.格的对偶原理（对偶命题）

要点：原来格的命题如果成立，那么它的对偶命题也成立
4.格的交和并仍然保留二元运算的各种性质：交换律、结合律、幂等律、吸收律
5.格上偏序关系的自定义

理解：对于格的交和并运算都可以自定义，产生新的偏序关系
6.格的判定定理

7.格的性质

8.子格的定义

要点：
（1）集合中无孤立点，每个点都至少有一条边
（2）仍然满足格的定义：能找到任意2个元素的最小上界和最大下界
9.分配格的定义和例子
定义：∧对∨以及∨对∧都满足分配律的格
eg：（记住那些特殊的、非分配格的）

要点：除钻石格和五角格，其他基本为分配格
10.分配格的判定和性质

要点：
（1）当格大于等于5元时，需要判断是不是含上面那些特殊的非分配格的同构子格
（2）如果格小于5元，则无需判断，直接就是分配格
11.有界格的定义

要点：
（1）存在全上界和全下界的格是有界格，且有限格一定是有界格
（2）全上界和全下界必须是唯一的（由偏序关系中的反对称推出）
12.有界格的补元的定义

理解：如果在格的图中存在与指定点向下相交于下界、向上相交于上界的点，那么这个点就是补元
13.有补格的定义、判定方法和例子
定义：在有界格的条件下，若格L中所有的元素都存在补元，那么L为有补格
判定方法：没有快捷的判定方法，只能一个一个元素去找补元
eg：

除第一个图都是有补格，因为图1中b,c,d,e不存在补元
14.布尔格（布尔代数）的定义

要点：满足分配格和有补格的条件即为布尔格
15.布尔格的例子

16.布尔代数的性质

理解：
（1）补元的补元回到原来
（2）补元会改变交或并

理解：
（1）性质也可以作为判定方法
（2）其中的性质与二元运算的性质基本一致
17.有限布尔代数的定义和例子（简单看看，感觉不考）

理解：集合A、B可能是同构的，原子相当于是取出集合B的上界，再用它去生成布尔格，最后结果和B是一样的？

第十四章 图的基本概念
1.预备知识
（1）多重集：元素可以重复的集合
重复度：该元素重复出现的次数
eg：{a,b,b}={⟨a, 1⟩,⟨b, 2⟩}
（2）无序积：{(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}，记为A&B
注意：无序积与笛卡尔积的区别——无序积元素位置互换不影响结果，但笛卡尔积强调位置顺序，元素位置不可调换，会影响结果
2.无向图、有向图及其相关概念


相关概念：
（1）既含有有向边，又含有无向边的图——混合图
（2）G：无向图 D：有向图
V(G)：顶点集 E(G)：边集
|V(G)|：顶点数 |E(G)|：边数
（3）n阶图：顶点数为n的图
（4）零图：一条边也没有的图
n个顶点就叫n阶零图
其中，一阶零图——平凡图，由一个孤立点构成（只有一个顶点，没有边）
（5）空图：顶点集为空集的图，记为 ∅
（6）标定图：有给每一个顶点和每一条边指定一个符号的图
非标定图：没有指定符号的图
（7）有向图的基图：将有向图的所有有向边改为无向边后所得到的无向图
（8）在无向图G中：ek=(vi,vj)
<1>端点：边两端的顶点(vi和vj)，此时边ek与端点(vi或vj)关联
<2>关联次数：若vi不等于vj，则ek与vi(vj)的关联次数为1；若vi=vj，则ek与vi(vj)的关联次数为2，并称ek为环；反之若没有关联，则关联次数为0
<3>顶点相邻——隔一条边
边相邻——隔一个顶点
<4>领域、闭邻域、关联集

理解：
邻域——与指定点有边相连的其他顶点
闭邻域——在邻域的基础上加上指定点自身
关联集——与指定点有关联的所有边
（9）在有向图D中：ek=⟨vi,vj⟩
<1>端点分始点和终点
<2>其他概念与无向图的相同
<3>后继元集、先驱元集、邻域、闭邻域

理解：
后继元集——指向指定点的边中除指定点外的其他端点（此时指定点作为边的后继元素）
先驱元集——从指定点指出的边中除指定点外的其他端点（此时指定点作为边的先驱元素）
邻域——后继元集与先驱元集的并集
闭邻域——与无向边中的概念相同
（10）图中没有边关联的顶点称为孤立点
（11）平行边、重数、多重图、简单图的定义

重数——平行边的条数
（12）顶点的度的定义


悬挂顶点——度数为1的顶点
悬挂边——与悬挂顶点相关联的边
奇度顶点——度数为奇数的顶点
偶度顶点——度数为偶数的顶点
（13）图的度数列的定义

3.相关定理以及判定
（1）握手定理
定理1：在任何无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍
定理2：在任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍；所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数
推论：任何图中，奇度顶点的个数是偶数
（2）可图化、可简单图化的判断以及例子（先判断是否可图化，再判断是否可简单图化）
<1>判断可图化：

要点：度数之和为偶数是可简单图化的重要前提条件
<2>判断可简单图化的其中一个条件：（并非充要条件）

还需要经过多次推理并最后尝试能不能画出来简单图
eg：
（3，3，3，1）看似可图化和可简单图化，但仅可图化，不可简单图化
理由：（3，3，3，1）->（3，3，2，0）->（2，2，0，0）必存在平行边，故不可简单图化
（3）图的同构

要点：

（4）完全图（有向图、无向图）、竞赛图（有向图）

（5）n阶k正则图：所有点度数都为k

（6）子图、母图、生成子图、真子图

理解：
<1>子图：仅需满足顶点个数和边数是母图的子集即可
<2>生成子图：顶点数与母图一致，边数是母图的子集（包含G的所有结点的子图，剔除部分边）
<3>真子图：顶点数或边数是母图的真子集
（7）导出子图
<1>顶点集的导出子图则从原图中找到这些顶点，并将这些顶点及其之间的连线一同取出
<2>边集的导出子图则从原图中找出这些边，并将其所包含的端点一同取出
（8）补图（无向图）及例子

理解：假设已有图G = ⟨V, E⟩ 为 n 阶简单无向图，存在G非=⟨V, E非⟩能与G合成完全图，那么G非为G的补图
要点：
<1>首先前提条件是G为n阶简单图，无平行边和环
<2>G非和G的结点数必须相同，在G中邻接的，在G非中不邻接
<3>G非与G能够合成完全图
<4>如果是有向补图，则需能合成双向邻接的完全图
<5>对于自补图，需满足n(n-1)/2=2m（偶数）——>n(n-1)=4m——>n=4k/(4k+1)时才可能有自补图
eg：

第二列的两个图互为补图，第三列的第一或第二个图为自补图
（9）添加边、删除边、添加顶点、删除顶点、边的收缩
要点：
<1>边直接删除，顶点删除需要同时删除与顶点相关联的边
<2>收缩：设e=(u,v)，用G\e表示从G中删除e后，将e的两个端点u,v用一个新的顶点w（可以用u或v充当w）代替，并使w关联除e以外u,v关联的所有边，称作e的收缩
eg：

4.通路与回路

理解：

补充：
（1）有边重复出现的叫复杂通路，加上始点与终点相同的叫复杂回路
（2）长度为奇数的圈叫奇圈，长度为偶数的圈叫偶圈
5.通路与回路的性质

6.无向图的连通性



（1）点割集、割点

理解：
<1>点割集——去掉集合内的点能变为非连通图的集合，能使p（连通分支）更多，更散
<2>割点——点割集中的最小元素
（2）点连通度

理解：
第三点——最少需要剔除k个点，取小于等于k的正整数n，就叫n-点连通图
（3）边割集（可简称割集）、割边（桥）

理解：去掉集合内的边能变为非连通图的集合（或者说能产生孤立点）
（4）边连通度

（5）点连通、边连通的例子


（6）连通度相关定理

理解：图G的点连通度小于等于边连通度小于等于最小度
（7）无割点和无桥

理解：满足点连通度的要求比边连通度的要求更严格一些，因而对于同等的连通度数，n-点连通图为n个顶点共初级回路，而n-边连通图为n个顶点共简单回路
7.有向图的连通性


（1）弱连通图（连通图）、单向连通图、强连通图

判定：

理解：
第三点——对于任意的单向连通图，存在点指向其他的点的路径
8.扩大路径法
理解：直到再扩下去会连上已在路径上的点，此时得到的就是极大路径
9.证明1

10.二部图Kr,s

要点：顶点集V1、V2内部分别为孤立点，各集合内部的点之间不存在边
11.二部图的判定定理

理解：
（1）要么无圈
（2）要么有圈，且必须是偶圈（顶点交替分属于V1、V2，则边也是一来一回，必定是偶数条边）
12.图的表示

13.关联矩阵（元素为顶点与边的关联次数）
（1）无向图

要点：
<1>n行为n个顶点，m列为m条边
<2>如果存在环，则对应位置应该填（关联2次）

理解：
<1>每一列之和为2（每一条边的关联次数必定为2）
<2>每一行之和对应顶点的度数
<3>矩阵所有元素之和等于整个图的度数（必定为偶数）
<4>对于同为平行边的列元素的填写相同
（2）有向图（一般不用关联矩阵表示带环的有向图，但可以再定义，如将环定义为2）


理解：
<1>每一列之和为0，度数=入度+出度=0
<2><3>矩阵中-1为入度，1为出度，个数相等且等于边数m，总和为0
14.邻接矩阵——有向图（元素为顶点与顶点之间的邻接边数）


理解：
<1>每一行之和为当前行对应的顶点的出度，每一列之和为入度
<2>矩阵中元素之和为图的总边数


理解：
<1><2>矩阵通过乘法求得的A的n次方中的aij元素代表长度为n的vi到vj的通路数，若i=j，则代表回路数
<3><4>矩阵中所有元素之和代表长度为n的总通路数，对角线上的元素之和则为总回路数
15.可达矩阵——有向图（元素为顶点与顶点之间是否可达）


16.图的运算