【树状数组】区间修改、区间查询

其实呢，树状数组最有价值的是如何区间修改、区间查询，因为不会，我之前一度用分块， 学会树状数组区间修改、区间查询非常重要

当你点开这篇文章时，说明你是一个有志向的人。毕竟，多数人都看不好它

废话到此为止，进入正题

那么如何进行树状数组区间修改、区间查询呢 （还是句废话）

先想到差分
记 $x_i$ 为原数组，$d_i$ 为差分数组，数组长度为 $n$
则有$$d=\{x_1,x_2-x_1,x_3-x_2,\cdots ,x_n-x_{n-1}\}$$
设查询区间 $l,r$
解：
$$\sum _{i=l}^r{x}_i=\sum _{i=l}^r\sum _{j=1}^i{d}_j$$
会发现有 $d_i$ 是重复出现的，进行归纳总结
出现次数
$$c(i)=\{\begin{array}{ll}r-l+1,& i<l\\ r-i+1,& l\le i\le r\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}\text{原式}& =(r-l+1)\sum _{i=1}^{l-1}{d}_i+\sum _{i=l}^r(r-i+1)\times d_i\\ & =(r+1)\sum _{i=1}^{l-1}{d}_i-l\sum _{i=1}^{l-1}{d}_i+(r+1)\sum _{i=l}^r{d}_i-\sum _{i=l}^r{d}_i\ast i\\ & =(r+1)\sum _{i=1}^r{d}_i-l\sum _{i=1}^{l-1}{d}_i-\sum _{i=l}^r{d}_i\ast i\\ & =(r+1)\sum _{i=1}^r{d}_i-l\sum _{i=1}^{l-1}{d}_i-\sum _{i=1}^r{d}_i\ast i+\sum _{i=1}^{l-1}{d}_i\ast i\end{array}$$
似乎越来越复杂了，但这样，我们就能分两个树状数组分别维护$$\sum _{i=1}^x{d}_i(ta1)$$与$$\sum _{i=1}^x{d}_i\ast i(ta2)$$

$update$代码：

void upt(int l,int r,int x){
	up(l,x,ta1);
	up(r+1,-x,ta1);
	up(l,x*l,ta2);
	up(r+1,-x*(r+1),ta2);
}

$query$代码：

void quy(int l,int r){
	int s1=(r+1)*qy(r,ta1)-l*qy(l-1,ta1);
	int s2=qy(r,ta2)-qy(l-1,ta2);
	return s2-s1;
}

还是挺好写的

整体代码

int ta1[N],ta2[N];
#define lowbit(x) ((-x)&x)
void up(int u,int x,int ta[N]){
	for(int i=u;i<N;i+=lowbit(i))
		ta[i]+=x;
}
int qy(int u,int ta[N]){
	int ans=0;
	for(int i=u;i;i-=lowbit(i))
		ans+=ta[i];
	return ans;
}
void upt(int l,int r,int x){
	up(l,x,ta1);
	up(r+1,-x,ta1);
	up(l,x*l,ta2);
	up(r+1,-x*(r+1),ta2);
}
void quy(int l,int r){
	int s1=(r+1)*qy(r,ta1)-l*qy(l-1,ta1);
	int s2=qy(r,ta2)-qy(l-1,ta2);
	return s2-s1;
}