有一个人前来买瓜 | C++ | 二维背包问题
提醒：这道题目你会不会做，看不看得懂其他大佬的做法，完全取决于你看没看过背包问题，懂不懂背包问题的基本逻辑原理。换言之，只要你会背包，自己做出来不是难题。
（因为我身边好多人包括我，一开始都不清楚背包问题而莽做，结果碰壁，故作此提醒）
一、题目描述
水果摊一共有n个瓜，每个瓜有重量w，成熟度v，金粒子数量g。一共有q次询问，每次询问给出两个值W、V，小军要选取n个瓜的子集，使总重量 Σw≤W,总成熟度Σv≥V，求 ΣgΣg的最大值。
Input
第一行输入两个整数n,q(1≤n≤100,1≤q≤100)n,q(1≤n≤100,1≤q≤100)，代表瓜的数量和询问数量。
接下来n行，每行三个整数，第i行的三个整数为wi,vi,gi(1≤wi,vi,gi≤100)，分别代表第i个瓜的重量，成熟度和价值。
接下来q行，输入两个整数W,V(1≤W,V≤500)W,V(1≤W,V≤500)，代表一组询问。
Output
输出一共有q行，每行一个整数，分别代表每组询问的最大金粒子数总和，若无合法的买法则输出-1。
测试输入 期待的输出 时间限制 内存限制 额外进程 测试用例 1 以文本方式显示
- 5 1↵
- 2 4 5↵
- 4 3 3↵
- 1 3 2↵
- 3 4 3↵
- 3 2 5↵
- 10 10↵
以文本方式显示
- 15↵
1秒 64M 0
二、二维背包问题
在我看来，背包问题就是递推的某种变形。递推是按照一定的规律来计算序列中的每个项，通常是通过计算前面的一些项来得出序列中的指定项的值；背包问题中基于其不同的物体取法有着不同的称重和价值情况，这个类似递推的过程，叫做转移。
具体过程去课本上或者网络上一搜便是，也不难，不多赘述。
用动态规划解决背包问题，关键就是其初始状态和转移方程，有时候取值范围也很重要，比如这题。
三、我的做法
定义二维数组dp[ j ][ k ]，表示当重量为 j ，成熟度为 k 时的价值数。
w[i]，v[i]，g[i]分别是第 i 个瓜的重量、成熟度和价值。
买0个瓜的情况，重量为0，成熟度为0，价值为0，故dp[0][0]=0。
接下来有三层循环，第一层循环是i从1到n，表示我有n个瓜，每个瓜循环一次。
第二层循环是重量，第三层循环是成熟度。
具体的循环过程是这样的，对每一个瓜，我扫描所有的重量和成熟度的组合，如果dp[ j ][ k ]有价值，我就可以考虑进行转移，转移情况有两种，即买这个瓜和不买这个瓜，因此转移方程为dp[ j+w[i] ] [ k+v[i] ] = max( dp[j][k]+g[i] , dp[ j+w[i] ] [ k+v[i] ])。
等我们依据现有的瓜建立好其对应的dp数组之后，再读入每次询问的W和V，然后在合适的范围内（0~W，V~500）寻找最大的价值就行了。
四、完整代码
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 110;
int n,q; //瓜的数量和询问次数
int w[N],v[N],g[N]; //瓜的重量、成熟度、价值
int W,V; //总重量，总成熟度
ll dp[501][501]; //f[j][k]重量为j，成熟度为k的价值
int main(){
scanf("%d %d",&n,&q);
memset(dp,-1,sizeof(dp));
dp[0][0] = 0;
for (int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d %d %d",&w[i],&v[i],&g[i]);
}
for (int i=1;i<=n;i++) {
for (int j=500;j>=0;j--) {
for (int k=500;k>=0;k--) {
if ( dp[j][k]>=0 ) {
if (j+w[i]<=500) {
dp[j+w[i]][min(k+v[i],500)] = max(dp[j][k]+g[i],dp[j+w[i]][min(k+v[i],500)]);
}
}
}
}
}
for (int i=0;i 总的来说不难，作为一个经典的背包问题来做确实是很有训练价值。
五、常见问题汇总
1、盲目开三位数组会爆内存。
2、虽然题目说V不超过500，但不代表瓜的成熟度真不会超过500，甚至我们连它的上限都不知道。因此不建议盲目开第二阶空间，而是将成熟度超过500的都存入500；见26行min(k+v[i],500)。
3、重量超过500的，直接抛弃。
4、题目数据以百为单位，就这个简单的三层循环不用担心TLE，但是加第四层就不一定了。
5、记得memset为负值，-INF或者-1都行，因为我们在判断dp>0时会用到，防止误判。
6、从大到小循环并且用加法，或者从小到大循环并且用减法，不然也会误判。
7、也有人提醒说要开long long。
结束辣，wuhu！