【LeetCode刷题笔记】动态规划 — 70.爬楼梯

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LeetCode题解专栏：【LeetCode刷题笔记】

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题目链接

70. 爬楼梯- 力扣（LeetCode）

一、题目描述

假设你正在爬楼梯。需要n阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬1或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

二、示例

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

三、题目分析

根据题目一次1个或2个台阶，先考虑极端情况：只有一个台阶的情况和只有两个台阶的情况

• 只有一个台阶：1种方法：爬1个台阶

• 只有两个台阶：2种方法：爬两次1个台阶、爬一次2个台阶

在两个台阶的问题中，第一种方法包含了只有一个台阶的情况（爬两次1个台阶：即爬了一个台阶，此时只剩下一个台阶，转化为了只有一个台阶的问题）

三个台阶时，如果爬1个台阶，还剩2个台阶，转化为了2个台阶的问题；如果爬两个台阶，还剩1个台阶，转化为了1个台阶的问题

因此，三个台阶的方法等于一个台阶的方法 + 两个台阶的方法，为动态规划问题

dp数组的定义

dp[i] 爬到第i层楼梯，有dp[i]种⽅法

基础情况

第1个台阶和第2个台阶为最基础的情况，分别是1种、2种方法

dp[1] = 1;
dp[2] = 2;

递推公式

由题目分析可得：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

四、代码实现（C++）

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        if(n == 1) return n;
        if(n == 2) return n;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 3;i <=n; i++){
             dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
         }
        return dp[n];
    }
};

优化

以三个台阶为例，第三个台阶只依赖于前两个台阶的方法和，第i个台阶只依赖于i - 1 和i - 2的和

只需关注前两个的值，其余的可以不去考虑， vector dp(n+1) 缩小为 dp[3]，优化空间复杂度（在数据n较大的情况下）

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int dp[3];  	//dp[0]占1个
        if(n == 1) return n;
        if(n == 2) return n;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        int sum = 0;
        for(int i = 3;i <=n; i++){
            sum = dp[1] + dp[2];
            dp[1] = dp[2];
           dp[2] = sum;
         }
        return dp[2];
    }
};

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