【LeetCode刷题笔记】动态规划 — 70.爬楼梯

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【LeetCode刷题笔记】动态规划 — 70.爬楼梯_第1张图片
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目录

  • 题目链接
  • 一、题目描述
  • 二、示例
  • 三、题目分析
    • dp数组的定义
    • 基础情况
    • 递推公式
  • 四、代码实现(C++)
  • 优化

题目链接

70. 爬楼梯- 力扣(LeetCode)

一、题目描述

假设你正在爬楼梯。需要n阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬12 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

二、示例

示例 1:

输入:n = 2
输出:2
解释:有两种方法可以爬到楼顶。

  1. 1 阶 + 1 阶
  2. 2 阶

示例 2:

输入:n = 3
输出:3
解释:有三种方法可以爬到楼顶。

  1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
  2. 1 阶 + 2 阶
  3. 2 阶 + 1 阶

三、题目分析

根据题目一次1个或2个台阶,先考虑极端情况:只有一个台阶的情况和只有两个台阶的情况

  • 只有一个台阶:1种方法:爬1个台阶

  • 只有两个台阶:2种方法:爬两次1个台阶、爬一次2个台阶

在两个台阶的问题中,第一种方法包含了只有一个台阶的情况(爬两次1个台阶:即爬了一个台阶,此时只剩下一个台阶,转化为了只有一个台阶的问题)

三个台阶时,如果爬1个台阶,还剩2个台阶,转化为了2个台阶的问题;如果爬两个台阶,还剩1个台阶,转化为了1个台阶的问题

因此,三个台阶的方法等于一个台阶的方法 + 两个台阶的方法,为动态规划问题

dp数组的定义

dp[i] 爬到第i层楼梯,有dp[i]种⽅法

基础情况

第1个台阶和第2个台阶为最基础的情况,分别是1种、2种方法

dp[1] = 1;
dp[2] = 2;

递推公式

由题目分析可得:dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

四、代码实现(C++)

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        if(n == 1) return n;
        if(n == 2) return n;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 3;i <=n; i++){
             dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
         }
        return dp[n];
    }
};

【LeetCode刷题笔记】动态规划 — 70.爬楼梯_第2张图片

优化

以三个台阶为例,第三个台阶只依赖于前两个台阶的方法和,第i个台阶只依赖于i - 1i - 2的和

只需关注前两个的值,其余的可以不去考虑, vector dp(n+1) 缩小为 dp[3],优化空间复杂度(在数据n较大的情况下)

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int dp[3];  	//dp[0]占1个
        if(n == 1) return n;
        if(n == 2) return n;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        int sum = 0;
        for(int i = 3;i <=n; i++){
            sum = dp[1] + dp[2];
            dp[1] = dp[2];
           dp[2] = sum;
         }
        return dp[2];
    }
};

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