【每日一题】ARC137B - Count 1’s | 思维 | 中等

题目内容

原题链接

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $a$ ，$a_i\in [0,1]$ 。

对于一个子数组 $a_l,a_{l+1},\cdots ,a_r$ ，一次修改操作意味着将 $a_i=0$ 修改为 $a_i=1$ ，将 $a_i=1$ 修改为 $a_i=0$ 。

问修改至多一次（可以不修改），可以修改出多少种数组和不同的数组 $a$ 。

数据范围

• $1\le n\le 3\times 10^5$
• $0\le a_i\le 1$

题解

暴力

枚举每个子数组，计算每个子数组翻转后可能有多少个不同的值。用 $set$ 去重即可。
时间复杂度：$O(n^2\log n)$

正解

这里我们考虑一个问题，翻转后的值有多少种情况，如果是全 $0$ ，则可以翻转成 $1$ 个 $1$ ，$2$ 个 $1$ ，$3$ 个 $1$ 一直到 $n$ 个 $1$ ，那么就是 $n$ 种情况。

对于我们能将值减少 $k$ 的子数组 $sub$ ，必能在 $sub$ 中选出一个子数组，使得数组的总和减少 $k-1$ ，以此类推，从减少 $k$ 到减少 $1$ 都可以做到。

问题转换为求可以减少最多的次数，这对应子数组中 $1$ 的数量减去 $0$ 的数量的最大值 $up$。
我们还需要求可以增加最多的次数，这对应子数组中 $0$ 的数量减去 $1$ 的数量的最大值 $down$。

最后，我们还可以选择不修改，即值不变。

所以答案为 $up+down+1$ 。

时间复杂度：$O(n)$

代码

#include 
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;

    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];

    // 找到一个 1 减 0 数量最多的数组和 0 减 1 最多的数组
    vector<int> cnt(2, 0);

    auto gao = [&](bool is_reverse = false) {
        int res = 0;
        int cur = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (!is_reverse) {
                if (a[i] == 1) cur += 1;
                else cur -= 1;
            } else {
                if (a[i] == 1) cur -= 1;
                else cur += 1;
            }

            res = max(res, cur);
            if (cur < 0) cur = 0;
        }
        return res;
    };

    cout << gao() + gao(true) + 1 << "\n";

    return 0;
}