24考研数据结构-图的存储结构邻接矩阵

6.3 储存结构（邻接表表示法）

1. 储存方式

2. 结构

【1】顶点的结点结构
———————
| data | firstarc |
———————

data数据域：储存顶点vi
firstarc链域：指向链表中第一个结点
【2】弧的结点结构
——————————
| adjvex | info | nextarc |
——————————

adjvex邻接点域：与顶点vi邻接的点在图中的位置
info数据域：储存和边相关的信息，如权值
nextarc链域：与顶点vi的点在图中的位置

3. 图的邻接表存储表示（算法）

#define MAX_VERTEXT_NUM 20
//建立边结点 
typedef struct ArcNode {
      int adjvex;                      // 该弧所指向的顶点的位置
      struct ArcNode *nextarc; // 指向下一条弧
      InfoType  *info;                // 该弧相关信息（可选）
}ArcNode; 
// 顶点结点
typedef struct VNode{
        VertexType data;              // 顶点信息
        ArcNode  *firstarc;          // 指向第一条依附该顶点的弧
}VNode,AdjList[MAX_VERTEXT_NUM];
//邻接表
typedef struct {
      Adjlist vertices;
      int vexnum,arcnum;
      int kind;
}ALGraph; 

//建立邻接表算法
//初始化一个结点总数为num的图，k为图的类型，num为结点总数
void InitG(ALGraph G,enum GraphKind k,int num)
{
    G.kind=k;
    G.vexnum=num;
    G.vertices=new VNode[vexnum];
    for(int i=0;i<G.vexnum;i++)
    {G.vertices[i].Firstarc=NULL;
        cin>>G.vertics[i].data;
    }
}

//有向图(网)增加弧的算法，将弧(from,to,weight)加入图
void InsertArc(ALGragh G,int from,int to,int weight)
{
    ArcNode *s=new ArcNode;
    s->weight=weight;
    s->adjvex=to;
    s->nextarc=G.vertices[from].firstarc;//插到链表vertices[from]的头
    G.vertices[from].firstarc=s;
}

4. 结论

（1）在邻接表中，同一条边对应两个结点。
（2）无向图中顶点v的度：等于v 对应的链表的长度；但是，在有向图中，要求顶点A的的入度，则需要遍历所有的顶点连接的链表，判断有几个存在顶点A；求出度，则是A顶点链表有几个点。
（3）判定两顶点v，w是否邻接：要看v对应的链表中有无对应的结点w（相反判断也行）；
（4）对于一个图，给定的邻接表是并不唯一的（区分与邻接矩阵）
（5）增减边：要在两个单链表插入、删除结点；
（6）占用存储空间与顶点数、边数均有关；适用于边稀疏的图

注意，在有向图的邻接表中不易找到指向该顶点的弧。
邻接矩阵表示唯一，邻接表表示不唯一

5. 邻接矩阵和邻接表的对比

---

图是计算机科学中重要的数据结构之一，用于表示多对多的关系。在实际应用中，图可以用于表示网络拓扑、社交关系、路由算法等。对于图的存储结构，有两种常见的方式：邻接矩阵和邻接表。本文将介绍这两种存储结构的原理和特点，并对比它们之间的关系。

邻接矩阵

邻接矩阵是一种使用二维数组来表示图的存储结构。对于有n个节点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其中的元素表示节点之间的关系。如果图中的节点i和节点j之间有边相连，则邻接矩阵中的第i行第j列的元素为1；否则，为0。

优点：

• 查询快速：由于邻接矩阵是一个二维数组，可以通过下标直接访问节点之间的关系，查询操作的时间复杂度为O(1)。
• 空间效率：在稠密图（边数接近节点数平方）中，邻接矩阵的存储效率较高。

缺点：

• 空间复杂度高：对于稀疏图（边数远小于节点数平方），邻接矩阵会浪费大量空间来表示不存在的边。

class Graph {
private:
    int V; // 节点数
    int** adjMatrix; // 邻接矩阵

public:
    Graph(int vertices) {
        V = vertices;
        adjMatrix = new int*[V];
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            adjMatrix[i] = new int[V];
            for (int j = 0; j < V; j++) {
                adjMatrix[i][j] = 0;
            }
        }
    }

    void addEdge(int src, int dest) {
        adjMatrix[src][dest] = 1;
        adjMatrix[dest][src] = 1;
    }

    // 其他操作...
};

邻接表

邻接表是一种使用链表来表示图的存储结构。对于有n个节点的图，邻接表是一个包含n个链表的数组，每个链表存储与节点i相邻的节点。

优点：

• 空间效率高：在稀疏图中，邻接表可以节省大量空间，只存储存在的边。
• 插入和删除快速：在邻接表中插入或删除边相对较快。

缺点：

• 查询效率低：在邻接表中查询节点i和节点j之间是否有边，需要遍历链表，平均时间复杂度为O(V)。

class Graph {
private:
    int V; // 节点数
    vector<list<int>> adjList; // 邻接表

public:
    Graph(int vertices) {
        V = vertices;
        adjList.resize(V);
    }

    void addEdge(int src, int dest) {
        adjList[src].push_back(dest);
        adjList[dest].push_back(src);
    }

    // 其他操作...
};

邻接矩阵与邻接表的关系

邻接矩阵和邻接表是两种不同的图的存储结构，各自有着优缺点。对于边稠密的图，邻接矩阵可以提供较好的查询效率和空间效率；而对于边稀疏的图，邻接表则更加节省空间。

在实际应用中，我们需要根据具体的图的特点和操作需求来选择合适的存储结构。如果图是边稠密的，且需要频繁进行查询操作，邻接矩阵可能是一个不错的选择；如果图是边稀疏的，邻接表可以更好地节省空间。在有些情况下，我们也可以结合使用邻接矩阵和邻接表，充分发挥它们各自的优势，以满足实际需求。

综上所述，邻接矩阵和邻接表是图的两种常见存储结构，它们各自有着优缺点。在实际应用中，需要根据图的特点和操作需求进行选择，以达到最优的性能和空间效率。

6.4.拓展存储结构（十字链表，邻接多重表）很绕多理解

1. 十字链表（存储有向图）

• 空间复杂度：O(|V|+|E|)
  
• 同层可找所有出边即出度（绿色）
• 不同层相连的即所有入边（橙色）
• 比邻接表空间复杂度的$v^2$更小
  

2. 邻接多重表（存储无向图）

• 解决无向图冗余信息的问题，空间大
• 删除边，删除结点操作更简单（只要顺着指针找，就跟删除链表结点一样）
• 空间复杂度：O(|V|+|E|)，比邻接表的v+2e，因为不存储无关的结点
  

6.5 四种存储结构的对比