圆的反演 hdu 4773

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题目大意

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4773

给定2个不相交的圆以及圆外1点P。求过P并且与另两个圆相切（外切）的圆，这种圆有可能有多个。

基本思路

圆的反演有如下性质：

1. 圆C的圆心为O，则如果有一个圆过点O，则该圆对C的反演是一条直线。反之直线可以反演成圆。
2. 如果两个圆相切，则反演后的几何形状还是相切。

题目要求的是过点P的圆，可以把圆先以P为圆心（半径取1即可）进行反演，然后求公切线，再将切线反演成圆，判断是否外切。

内公切线反演后必有1个圆是内切

反演可以理解为一种凸镜反射，反射的特点就是位置会相反，远近会颠倒。
从上图可以看出，当圆处于公切线与P的另一边时，最终结果是内切。
两个圆的内部公切线必有1个圆是处于这种情况。所以只要求外公切线即可。

求解外公切线

根据圆的公切线性质可知，
$\angle P1AP{1}^{\prime }=\angle P2BP{2}^{\prime }，设置值为\alpha$

$\therefore △OAP{1}^{\prime }\sim △OBP{2}^{\prime },相似比是\frac{r_1}{r_2}$

P1’, P2’ 可以用P1， P2经过一个旋转得到。

$P{1}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right]\cdot (P1-A)+A$

$P{2}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right]\cdot (P2-B)+B$

另一边的公切线，相当于是逆时针旋转

$P{1}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}cos\alpha & sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right]\cdot (P1-A)+A$

$P{2}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}cos\alpha & sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right]\cdot (P2-B)+B$

通过相似三角形可以解出OA

$cos\alpha =\frac{r_1}{OA},sin\alpha =\sqrt{1-si{n}^2\alpha }$

代码实现

#include
#include
#include 
#include 


using namespace std;

class Point {
public:
	double x, y;

	Point() {}
	Point(double a, double b) :x(a), y(b) {}
	Point(const Point &p) :x(p.x), y(p.y) {}

	void in() {
		scanf(" %lf %lf", &x, &y);
	}
	void out() {
		printf("%f %f\n", x, y);
	}

	double dis() {
		return sqrt(x * x + y * y);
	}

	Point operator -(const Point& p) const {
		return Point(x-p.x, y-p.y);
	}

	Point operator +(const Point& p) const {
		return Point(x + p.x, y + p.y);
	}
	Point operator *(double d)const {
		return Point(x *d, y *d);
	}

	Point operator /(double d)const {
		return Point(x / d, y / d);
	}


	void operator -=(Point& p) {
		x -= p.x;
		y -= p.y;
	}

	void operator +=(Point& p) {
		x += p.x;
		y += p.y;
	}
	void operator *=(double d) {
		x *= d;
		y *= d;
	}

	void operator /=(double d) {
		this ->operator*= (1 / d);
	}
};

class Line {
public:
	Point front, tail;
	Line() {}
	Line(Point a, Point b) :front(a), tail(b) {}
};

// https://oi-wiki.org//geometry/inverse/#%E5%8F%82%E8%80%83%E8%B5%84%E6%96%99%E4%B8%8E%E6%8B%93%E5%B1%95%E9%98%85%E8%AF%BB
// 根据官方定义实现圆的反演
class Circle
{
public:
	Point center;
	double r;
	
	Circle(const Point &c, double a):center(c), r(a){}
	Circle() {}
	void in() {
		center.in();
		scanf("%lf", &r);
	}
	void out() {
		center.out();
		printf("%f\n", r);
	}

	// 不过圆心的圆进行反演，得到1个圆
	Circle invert(const Circle& A) {
		Circle B;
		double oa = (center - A.center).dis();
		B.r = r * r / 2 * (1.0 / (oa - A.r) - 1.0 / (oa + A.r));
		double ob = r * r / (oa + A.r) + B.r;
		B.center = center +  (A.center - center)* ob / oa;
		return B;
	}

	// 过圆心的圆进行反演，得到1条直线
	Point invert2line(const Circle& c) {
		return Point();
	}
	
	// 直线反演，得到圆
	Circle invert2circle(const Line& l) {
		Point dir = l.front - l.tail;
		dir /= dir.dis();
		Circle c(Point(0, 0), 0);
		// 计算投影
		Point cdir = center - l.tail;
		Point project =l.tail + dir*(dir.x * cdir.x + dir.y*cdir.y);// 点乘得到投影长度

		// 计算圆到直线的距离
		Point op = project - center;
		if (op.dis() < 1e-6)return c;// 直线与圆心重合非法

		// 求解圆上的最远点
		double d = r * r / op.dis();
		Point pf = center + op / op.dis() * d;

		c.center = (center + pf) / 2;
		c.r = d / 2;

		return c;
	}

};

// 根据相似三角形求解圆的同侧公切线
vector<Line> getTangentLine(const Circle &c1, const Circle &c2) {
	if (c1.r > c2.r)return getTangentLine(c2, c1);
	double costheta = 0, sintheta = 1;	


	// 两圆半径不同，公切线与圆心连线有交点，用相似三角形求解
	if (c2.r - c1.r > 1e-6) {
		double oa = (c1.center - c2.center).dis() / (c2.r / c1.r - 1);
		costheta = c1.r / oa;
		sintheta = sqrt(1 - costheta * costheta);
	}

	// 两个圆上与圆心边线的交点
	Point pa, pb;
	Point ab = (c1.center - c2.center);
	ab /= ab.dis();

	// 通过两边旋转求解两条公切线
	vector<Line> res;
	for (int i = 0; i < 2; i++, sintheta *= -1) {
		pa = ab;
		Point pap, pbp;
		pap.x = costheta * pa.x - sintheta * pa.y;
		pap.y = sintheta * pa.x + costheta * pa.y;
		pap = pap * c1.r;
		pap = pap + c1.center;

		pb = ab;
		pbp.x = costheta * pb.x - sintheta * pb.y;
		pbp.y = sintheta * pb.x + costheta * pb.y;
		pbp = pbp * c2.r;
		pbp = pbp + c2.center;

		res.push_back({pap, pbp});
	}

	return res;
}

void solve() {
	Point P, Q, P1, Q1, M;
	int T;
	Circle c1, c2,c1invert, c2invert, OC;
	OC.r = 1;
	int x1, y1, r1, x2, y2, r2, x3, y3;
	scanf("%d", &T);

	while (T--) {
		scanf("%d %d %d %d %d %d %d %d", &x1, &y1, &r1, &x2, &y2, &r2, &x3, &y3);
		c1 = Circle(Point(x1, y1),r1);
		c2 = Circle(Point(x2, y2),r2);
		OC.center = Point(x3, y3);

		c1invert = OC.invert(c1);
		c2invert = OC.invert(c2);

		auto lines = getTangentLine(c1invert, c2invert);

		// 对直线进行反演回来，并判断是否与另两圆外切
		vector<Circle> circles;

		for (auto &l : lines) {
			Circle c = OC.invert2circle(l);
			if (c.r < 1e-6)continue; // 无法得到圆
			// 判断是否外切
			//printf("%.6f %.6f\n", (c1.center - c.center).dis(), c1.r+c.r);
			//printf("%.6f %.6f\n", (c2.center - c.center).dis(), c2.r+c.r);
			if (abs((c1.center - c.center).dis() - c1.r - c.r)>1e-6)continue;
			if (abs((c2.center - c.center).dis() - c2.r - c.r)>1e-6)continue;
			circles.push_back(c);
		}

		printf("%d\n", circles.size());
		for (auto &c : circles) {
			printf("%.6f %.6f %.6f\n", c.center.x, c.center.y, c.r);
		}
	}
}

int main() {
	solve();
	return 0;
}

/*
1
12 10 1 8 10 1 10 10

1 1 1 10 10 2 3 3
1 1 1 10 10 2 3 10
1 1 1 10 10 2 10 3
12 10 1 8 10 1 10 11
1 1 1 10 10 2 16 100
*/

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本人码农，希望通过自己的分享，让大家更容易学懂计算机知识。