算法分析与设计编程题 回溯法
装载问题
题目描述
解题代码
递归回溯
// goods[i]表示货物i的重量, c1,c2分别表示货船1和货船2的载重量
vector<vector<int>> optimalLoading(vector<int>& goods, int c1, int c2) {
int n = goods.size(); // 货物数量
int maxSum = 0; // 当前最大载货量
// curSelection[i]表示货物i是否放入货船1中（true表示放入）
vector<bool> curSelection(n, false);
// optimSelection记录maxSum对应的货物存放方式
vector<bool> optimSelection;
// 递归搜索函数
function<void(int, int)> dfs = [&](int sum, int idx) {
if (idx == n) { // 搜索达到最大深度，得到一个解
if (sum > maxSum) { // 更新最优解
maxSum = sum;
optimSelection = curSelection;
}
return;
}
// 货物idx能否放入货船1，若能，则向下搜索
if (sum + goods[idx] <= c1) {
curSelection[idx] = true;
dfs(sum + goods[idx], idx + 1);
curSelection[idx] = false;
}
// 不考虑将货物idx放入货船1
dfs(sum, idx + 1);
};
dfs(0, 0); // 执行搜索，初始时sum和idx均为0
// 判断在最优解情况下（将尽可能重的货物放入货船1后），余下的货物能否放入货船2
int sum2 = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (!optimSelection[i]) {
sum2 += goods[i];
}
}
if (sum2 > c2) return {}; // 若不能，则此问题无解，返回空数组
// 若能，则构造最优解
vector<vector<int>> res(2);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (optimSelection[i]) { // 选择放入货船1
res[0].emplace_back(goods[i]);
}
else { // 选择放入货船2
res[1].emplace_back(goods[i]);
}
}
return res;
}
状态压缩
事实上，对于此类涉及选或不选的回溯算法，还可以将其写成迭代的形式。
由于递归回溯的本质可以看作是对一棵二叉树进行的搜索，每次选或者不选都将产生两个分支，那么所有情况的数量为 2n（n 为被搜索对象的数目，在本例中为货物的总数）。我们考虑用一个整数 mask 将每种情况表示出来，该整数称为掩码，关注它的 n 位二进制形式，其中 mask 的第 i 位二进制位就代表对应的货物 goods[i] 有没有被选择，通常用 1 代表被选择，0 代表不被选择。那么不难得知 mask 的范围为 0~2n-1 。
在得到了每一种情况下的掩码后，就需要对其进行解码了，可以遍历 0~n-1 的所有整数 i，并将其右移 i 位，将 goods[i] 的对应的二进制位移到了最低位，此时再将和 1 进行按位与运算就能得知此情况下货物 i 是否被选择。
两种算法都有 2n 中搜索状态，每种状态下需要 O(n) 时间来进行最优解的更新，因此两种算法的渐进时间复杂度都为 O(n * 2n).
vector<vector<int>> optimalLoading(vector<int>& goods, int c1, int c2) {
int n = goods.size();
vector<bool> curSelection(n, false);
vector<bool> optimSelection;
int maxSum = 0;
for (int mask = 0; mask < (1 << n); ++mask) { // 遍历每种情况
// 将sum和curSelection全部复位
int sum = 0;
curSelection.assign(n, false);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
bool isChoosed = (mask >> i) & 1;
if (!isChoosed) continue;
if (sum + goods[i] <= c1) {
sum += goods[i];
curSelection[i] = true;
}
}
if (sum > maxSum) {
maxSum = sum;
optimSelection = curSelection;
}
}
// 构造最优解（与递归回溯部分完全相同）
int sum2 = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (!optimSelection[i]) {
sum2 += goods[i];
}
}
if (sum2 > c2) return {};
vector<vector<int>> res(2);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (optimSelection[i]) {
res[0].emplace_back(goods[i]);
}
else {
res[1].emplace_back(goods[i]);
}
}
return res;
}
批处理作业调度
题目描述
解题代码
int batchJobScheduling(vector<vector<int>>& jobs) {
int n = jobs.size(); // 作业数量
int res = INT32_MAX, curSum = 0; // 最优调度时间，当前调度时间
int f1 = 0; // 机器1完成处理时间
vector<int> f2(n + 1, 0); // 机器2完成处理时间
vector<int> optimSche; // 最优调度方案
vector<int> curSche; // 当前调度方案
for (int i = 0; i < n; ++i) { // 初始调度方案为 0,1,2,...,n-1
curSche.emplace_back(i);
}
// 递归搜索函数
function<void(int)> dfs = [&](int idx) {
if (idx == n) { // 搜索达到最大深度
// 更新最优解
optimSche = curSche;
res = curSum;
return;
}
for (int j = idx; j < n; ++j) { // 全排列搜索
f1 += jobs[curSche[j]][0];
f2[idx + 1] = ((f2[idx] > f1) ? f2[idx] : f1) + jobs[curSche[j]][1];
curSum += f2[idx + 1];
if (curSum < res) { // 剪枝（若当前累计和已经大于等于最优解，则不继续向下搜索）
swap(curSche[idx], curSche[j]);
dfs(idx + 1);
swap(curSche[idx], curSche[j]);
}
// 回溯
f1 -= jobs[curSche[j]][0];
curSum -= f2[idx + 1];
}
};
dfs(0); // 递归搜索
// 打印最优调度方案
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cout << optimSche[i];
if (i < n - 1) cout << "->";
}
return res;
}
符号三角形问题
题目描述
解题代码
int signedTriangle(int n) {
int num = n * (n + 1) / 2; // 三角形符号总数
if (num % 2 == 1) return 0; // 总数为奇数，不可能相等
vector<bool> triangles(num, false); // false代表'+',true代表'-'
int res = 0; // 合法图形个数
vector<vector<bool>> fullShape; // 所有合法图形
// 递归搜索函数
function<void(int)> dfs = [&](int idx) {
if (idx == n) { // 到达最大搜索深度，判断是否可行
int pCnt = num / 2, sCnt = num / 2; // 剩余'+','-'的符号个数
vector<bool> newShape; // 当前图形
queue<bool> q, nq; // 轮换队列
for (int i = 0; i < n; ++i) { // 将第一行符号加入队列
q.emplace(triangles[i]);
newShape.emplace_back(triangles[i]);
--(triangles[i] ? sCnt : pCnt);
}
while (q.size() > 1) {
while (q.size() > 1) {
bool ft = q.front();
q.pop();
bool nt = ft ^ q.front(); // 队列前两个符号异或得到下面的符号
nq.emplace(nt);
--(nt ? sCnt : pCnt);
if (sCnt * pCnt < 0) return; // 其中一个符号个数超过一半
newShape.emplace_back(nt);
}
q = move(nq); // 队列轮换（利用右值引用进行资源所有权的交换）
}
// 该结果合法
++res;
fullShape.emplace_back(newShape);
return;
}
triangles[idx] = true;
dfs(idx + 1);
triangles[idx] = false;
dfs(idx + 1);
};
dfs(0); // 递归搜索
// 打印所有合法图形
for (const auto& shape : fullShape) {
for (int col = n; col >= 1; --col) {
int di = (n - col) * (n + col + 1) / 2;
for (int i = 0; i < col; ++i) {
cout << shape[i + di];
}
cout << endl;
}
cout << "\n" << endl;
}
return res;
}
N皇后
题目描述
解题代码
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
vector<vector<string>> res; // 存放所有解
vector<string> chessBoard(n, string(n, '.')); // 当前棋盘状态
// 检查该位置(r,c)是否能够放置棋子
auto check = [&](int r, int c) -> bool {
for (int i = 0; i < r; ++i) {
// 从上往下依次检查棋盘第c列是否已放置棋子
if (chessBoard[i][c] == 'Q') {
return false;
}
// 从下往上依次检查左斜上方是否已放置棋子
int li = r - i - 1, lj = c - i - 1;
if (li >= 0 && lj >= 0 && chessBoard[li][lj] == 'Q') {
return false;
}
// 从下往上依次检查右斜上方是否已放置棋子
int ri = r - i - 1, rj = c + i + 1;
if (ri >= 0 && rj < n && chessBoard[ri][rj] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
};
// 递归搜索函数
function<void(int)> dfs = [&](int idx) {
if (idx == n) { // 到达最大深度，得到一个合法解
res.emplace_back(chessBoard);
return;
}
for (int j = 0; j < n; ++j) {
if (!check(idx, j)) continue; // 当前位置不可放置
chessBoard[idx][j] = 'Q'; // 放置棋子
dfs(idx + 1);
chessBoard[idx][j] = '.'; // 回溯
}
};
dfs(0);
return res;
}
最大团问题
题目描述
解题代码
// 图的邻接矩阵形式
struct MGraph {
vector<char> vertices; // 顶点数组（元素为字符类型）
// 邻接矩阵，edges[u][v] == INT32_MAX ? 无边 : 存在权值为edges[u][v]的边
vector<vector<int>> edges;
};
vector<vector<char>> largestGroup(MGraph& G) {
int n = G.vertices.size(); // 顶点个数
// 所有的最大团（每个最大团为一个char类型数组，其中元素为最大团顶点）
vector<vector<char>> res;
vector<bool> curGroup(n, false); // 当前团
int maxSize = 0; // 团的最大顶点数
// 递归搜索函数，idx为搜索深度，curSize为当前搜索状态下团的顶点个数
function<void(int, int)> dfs = [&](int idx, int curSize) {
if (idx == n) { // 到达最大搜索深度
// 构造最大团
vector<char> group;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (curGroup[i]) {
group.emplace_back(G.vertices[i]);
}
}
// 更新最优解
if (curSize > maxSize) {
res.clear();
maxSize = curSize;
}
res.emplace_back(group);
return;
}
bool flag = true; // 判断当前结点idx是否能够与当前团的每个结点相连
for (int j = 0; j < idx; ++j) {
if (curGroup[j] && G.edges[idx][j] == INT32_MAX) {
flag = false;
break;
}
}
if (flag) { // 如果相连，则构成一个更大的团，继续向下搜索
curGroup[idx] = true; // 加入团
dfs(idx + 1, curSize + 1);
curGroup[idx] = false; // 回溯
}
// 剪枝，若满足curSize + n - idx <= maxSize
// 则不可能得到比当前最大团更大的团，无需继续搜索
if (curSize + n - idx > maxSize) {
dfs(idx + 1, curSize);
}
};
dfs(0, 0);
return res;
}
图的m着色问题
题目描述
解题代码
// 图的邻接矩阵形式
struct MGraph {
vector<char> vertices; // 顶点数组（元素为字符类型）
// 邻接矩阵，edges[u][v] == INT32_MAX ? 无边 : 存在权值为edges[u][v]的边
vector<vector<int>> edges;
};
vector<vector<int>> mColoring(MGraph& G, int m) {
int n = G.vertices.size(); // 图的顶点个数
vector<vector<int>> res; // 所有着色方案，若无合法着色方案，则为空
vector<int> coloring(n, -1); // 当前着色方案
// 检查所有与顶点idx相连的顶点j是否与顶点idx颜色相同，若相同，则此着色方案不合法
auto check = [&](int idx) -> bool {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
if (G.edges[idx][j] != INT32_MAX && coloring[idx] == coloring[j]) {
return false;
}
}
return true;
};
// 递归搜索函数
function<void(int)> dfs = [&](int idx) {
if (idx == n) { // 到达最大搜索深度，将该着色方案加入解集中
res.emplace_back(coloring);
return;
}
// 遍历所有颜色，尝试为顶点idx进行着色
for (int j = 0; j < m; ++j) {
coloring[idx] = j; // 着色
if (check(idx)) { // 此着色合法，继续向下搜索
dfs(idx + 1);
}
coloring[idx] = -1; // 回溯
}
};
dfs(0);
return res;
}
圆排列问题
题目描述
解题代码
double circlePermutation(vector<double>& radius) {
int n = radius.size(); // 圆的个数
double res = INT32_MAX; // 最小长度
vector<double> optimalPerm; // 最小长度对应的排列方式
vector<double> curX(n); // curX[i]表示当前排列下圆i的圆心横坐标
// 计算当前排列下圆idx的圆心横坐标
auto calCenter = [&](int idx) -> double {
double xMax = 0.0;
for (int j = 0; j < idx; ++j) {
double x = curX[j] + 2.0 * sqrt(radius[idx] * radius[j]);
xMax = max(xMax, x);
}
return xMax;
};
// 计算当前排列下的总长度
auto calLen = [&]() -> double {
double low = 0.0, high = 0.0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
low = min(low, curX[i] - radius[i]);
high = max(low, curX[i] + radius[i]);
}
return high - low;
};
// 递归搜索函数
function<void(int)> dfs = [&](int idx) {
if (idx == n) { // 到达最大搜索深度
double len = calLen();
if (len < res) { // 更新最优解
res = len;
optimalPerm = radius;
}
}
for (int j = idx; j < n; ++j) { // 全排列
swap(radius[idx], radius[j]);
double centerX = calCenter(idx);
if (centerX + radius[idx] + radius[0] < res) { // 剪枝
curX[idx] = centerX;
dfs(idx + 1);
}
swap(radius[idx], radius[j]);
}
};
dfs(0);
// 打印最优解对应的圆排列
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cout << optimalPerm[i] << " ";
}
return res;
}