数学概念教学要融入中华文化,推陈出新 ——方程,中国式再创造

前言:

“老师,x = 1是方程吗?”

根据教材中关于方程的定义可知,“含有未知数的等式叫方程”。在x = 1中,既有未知数x ,又有表示等式的=,即x = 1满足教材中方程定义的条件,所以x = 1是方程。

但是这样的讨论,几近文字游戏,对于学生理解方程思想方法并无裨益,一本正经地专门讨论,毫无必要。

正文:

人教版、北师大版和苏教版教科书上关于方程的定义都是这样描述的——“含有未知数的等式叫方程”。同时,方程二字是用红色大字标出。

那这里是不是意味着教材关于方程定义的描述是错误的呢?

张奠宙教授在《小学数学教材中的大道理》一书中指出,教材中关于方程的定义最明显的漏洞是把“未知数替换成为字母”,变成了“含有字母的等式,称为方程”。

首先,将“含有未知数的等式”偷换为“含有字母的等式”在逻辑上是不允许的。其次,“含有字母的等式”种类很多,可以具有不同的意义。这就是说,“含有字母的等式”未必都是方程。方程只是“含有字母的等式”的一种情形。这个所谓的方程定义,在逻辑上“以偏概全”。

方程中的字母是一个特定的数字,叫做根。但是字母可以表示其他的意义。以下是三个例子:

1.字母泛指任意数。例如,描述加法交换律的式子a + b = b + a , 也是含有字母的等式,但这并不是方程。

2.字母表示某类数。例如,三角形面积公S=1/2ah,其中a是底边,h是这条底边上的高,这也和方程求未知数没有关系。

3.字母表示变量。例如,函数也是含有字母的等式,它们虽然可以看作是某条曲线的方程,但是一旦作为函数进行研究,在意义上是表示两个变量的依赖关系,这与方程求根也是不相同的。

小结:

这就是说,认为“方程是含有字母的一种等式”是可以的,反过来,认为所有“含有字母的等式都是方程”就不对了。“含有字母的等式叫方程”不能当作严格的定义来看待。如果非要拿它当基本出发点来判断是非,硬要人们承认x = 1是方程,恐怕是一种自我折腾,不足为训。


可见,只描述方程外貌的定义是不能称为是定义。一个定义,最好是能够帮助人们进行理解的,正如认识一个人,光靠一张照片是不够的,最好有一份简历。好的定义是要能够揭示所定义对象的本质。因此,传统教材中对方程的定义需要修改,且需要突出方程的本质含义。

那方程的定义应该是怎样的呢?方程的本质是什么?

1.方程的由来

通过方程二字的说起——方程两个字,西方是没有的,西方有的只是“等式”,英文是equation。方程两个字是来源于我国的《九章算术》中的解线性方程组《九章算术》第八卷,标题是方程(郭书春, 2004)。所讨论的问题是:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?”翻译:假设上等禾三捆,中等禾二捆,下等禾一捆,能结出粮食三十九斗;上等禾二捆,中等禾三捆,下等禾一捆,能结出粮食三十四斗;上等禾一捆,中等禾二捆,下等禾三捆,能结出粮食二十六斗.求上、中、下三等禾每捆能结多少粮食?

即,求解三元一次方程组的问题。中国古代,将方程组的各项系数和“实”之数,用算筹布列成矩阵状(即今之增广矩阵,也是“方”字的由来),然后用消元法变换这些系数(“程”就是计量),最后求得问题的解。

也可以说,方程中的“方”的意思是说,把线性方程组的系数排成一个方阵(由系数与常数构成的方阵);“程”的意思是按照一定的程式进行运算的过程(程就是程式),合起来可以说是矩阵的初等变换,也就是加减消元法。即方程的本义是列成方阵作程式化求解,所以教材中不该狭隘地理解为“含有未知数的等式”。

2.方程的发展

那么“方程”的涵义又是如何发展的呢?

刘徽(魏晋时代人,生卒不详)是这样界定方程的:“群物总杂,各列有数,总言其实,令每行为率。二物者再程,三物者三程,皆如物数程之。立列为行,故谓之方程。” (郭书春, 2004)

结合《九章算术》方程章的问题,就可以知道,“方程”二字,其核心思想是借助一组等式关系求出未知数,所面对的是一个多元一次方程组。


同时,中国古代在高次方程求解上贡献很大,世称“天元术”。明末清初,西方的algebra 传入中国。中文音译为“阿尔热巴喇”,也称之为“借根方”术,那时没有把“天元术”和方程联系在一起。直到,1859年,李善兰(1811 ~ 1882)和伟烈亚力(A. Wylie, 1815 ~ 1887)合作翻译英国著名数学家德摩根(又译棣么甘, A. De Morgan, 1806 ~1871)著的《代数学》(Elements of Algebra)。第一次将equation译成方程。原文是:

“Every collection of algebraical symbols is called an expression, and when two expressions are connected by the sign = , the whole is called an equation.”(A. De Morgan, 1837)

李善兰和伟烈亚力将这句话译为“并代数之几数名为式,两式之间作等号,谓之方程。”(棣么甘, 1859)

从原文来看,equation 就是“将两个代数式用等号连接起来的式子”,全然还是等式的原始本意,并没有任何“未知数”之类的意思。那么为什么李善兰没有将equation直译为等式,而是意译为“方程”呢?这其实就是对数学概念、西方学术里融入中华文化,这是一个意义深远的中国式再创造。


在李善兰看来,中国的天元术和解线性方程组,都是从一个或一组等式求出那些符号所代表的未知数之值。这样一来,方程就是一种等式关系,但又超出了“等式”原来的含义。

中国的方程一词,是和“求未知数”、“求满足等式的根”这样的含义联系在一起的。因而“方程”一词具有中国算学特色,和西方的“等式”一词并不对等。

事实上,方程作为最重要的一种等式,在中国以及东方的汉字文化圈里得到传播,使后学从中受惠。至于仅仅把方程看作“含有字母的等式”,那是过于简单化,也是辜负了李善兰的一番苦心。

[if !supportLists]3. [endif]方程的定义

那基于此,如何该给方程下定义呢?

数学大师关肇直先生说过:“在一些问题中,有些量是已知的,有些量是未知的,根据问题的内容,可以知道未知量与已知量之间的关系,从而可以由这个关系从已知量计算出未知量,这就是解方程的问题”。虽然,关先生把方程的本质、定义说的非常透彻,但是因为字数的原因,并不适合直接拿到小学教材中用。

于是,张奠宙先生就代替性地认为方程的定义应该是:“方程是为了寻求未知数,在未知数和已知数之间建立起来的等式关系”。这样的定义,即把方程的核心价值——寻求未知数提出来了,又明确方程是一种关系,其特征是“等式”,这种关系把未知数和已知数联系起来了,同时,人们借助这层关系可以找到我们需要的未知数。

这样的提法,既保持了中国古代借数量关系求未知数的核心含义,又符合西方数学中突出等式的界定,体现了中华文化与西方数学的一种融合。

小结:

总而言之,中国人对方程二字的理解,应该具有中华文化的底蕴,才能够更加深入地体会其中所蕴涵的数学思想方法。如果我们把方程仅仅理解为含有字母的等式,那就有点缺乏民族文化自觉性了。


二、小学生为什么不喜欢用方程解题

小明的爸爸今年36岁,比小明年龄的3倍还多6岁,求小明的年龄。

算术方法:(36—6)÷3=小明的年龄

思维:这是从已知爸爸的年龄36出发,减去6,再除以3,一步一步接近小明的年龄,最终得到答案10(逆向思维)

方程方法:设小明的年龄为x,则有方程:3x + 6=36,解得x=10

这是从未知数的小明的年龄x出发,建立和已知的爸爸年龄的关系,根据关系解出未知数x,即通过对消方法,将未知数还原出来。(顺向思维)

通过这一例子,我们可以很清晰的看到。算术方法和方程方法在解题思维上是相反的。打个比方说:如果将要求的答案比喻为河对岸的已块宝石,那么算术方法好像摸着石头过河——从我们知道的岸边开始,一步一步摸索着接近对岸的未知目标;而方程方法好像是将一根带钩的绳子甩过河,拴住对岸的未知数(建立一种关系),然后利用这根绳子(关系)慢慢地拉过来,最终获得这块宝石。(用字母代表数,赋予字母与已知数同等地位参与运算,就可以化逆向思考为顺向思考)

两者的思维不同,但得到的结果相同。

由此可得出,方程方法解题思维过程简单、直接,是顺向思维。但是,在我们日常教学中却发现,除非教师、试卷要求用方程外,学生都不愿意用方程方法来解题。其原因大致分为两类:

1.学了方程没有用

A.小学数学中为小学生提供的问题都比较简单,学生们完全可以用自己非常熟悉的算术方法解决出来,那何必还要费脑用方程呢?学生不愿意用方程,那自然而然就无法体会到方程的优越性。

B.相对于直接列算式解决问题,列方程还要写设和解,算出答案,而且答案后面还不能写单位,与算术方法相比多了不少“清规戒律”,在学生眼里是非常繁琐的。

2.学了方程不够用

简单的题,不用方程,用算术方法就能很快解决,但是有难度的题呢?即使学生能够很顺利地列出方程,但是解方程是会涉及到“移项、负数的运算”,而这些在小学的知识里,是不足以帮助学生解决这些问题的。

三、在教学的时,应该怎么做?

1.变逆为顺,体会方程核心价值

乐乐身高92厘米,哥哥比乐乐身高2倍还高2厘米。哥哥身高多少米?

学生列式求解:92 × 2 +2=186(厘米)

哥哥身高186厘米,比乐乐身高的2倍还高2厘米。乐乐身高多少厘米?

学生列式:

生1:186 ÷ 2 - 2

生2:(186-2)÷2

因为哥哥的身高比乐乐身高的2倍还高2厘米,那么,哥哥的身高去掉2厘米就正好是乐乐的2倍。

画线段图理解算术方法解题思路:

这道题用算术方法涉及到逆向思维,稍一不慎就会出现错误。但若用方程方法,就更加容易,且不易出错。

乐乐的身高是确定的,但目前未知,即可以设置为x表示,那现在能不能用含有x 的式子把“比乐乐身高的2倍还高2厘米”这句话的意思表达出来——2x + 2,这句话即表示比乐乐身高的2倍还高2厘米,还表示哥哥的身高186厘米,即可以列式为:2x + 2 = 186 ,等号两边都表示哥哥的身高。

不难看出,算术方法是逆向思考,方程方程方法是顺向思考,只要把字母代入,就可以直接把题中的数量关系翻译成式子,比算术方法更见的简单便捷,而且不容易出错。


2.化技巧性求解为程式化求解

鸡兔同笼,共有30个头,88只脚。笼中鸡兔各有多少只?

画图法、假设法、抬脚法、吹哨法……

这些每一种方法都是涉及到一定的解题技巧,特别是更适合解决数值较大问题的假设法技巧性很强,学生反复学习操练还是难以掌握,并不适合大多数学生学习。

那采用方程或方程组就非常简单,几乎适合所有的学生学习掌握。即,这就是方程的另一核心价值——化技巧性解读为程式化求解,更具通用性,更为大众化。


那基于方程的两个核心价值:变逆向思维为顺向思维;化技巧性求解为程式化求,以及学生学完后不主动、不愿意使用方程解题,我们教学应该怎样调整呢?

3.建立“建模思想”

以人教版教材为例,方程这一单元安排在5年级上册第5单元,具体内容分四大部分:第一,字母表示数;第二部分,方程的意义;第三,等式的性质;第四,解方程。从四部分内容来看,可以明显看出列方程和解方程是分开的(分别是第二和第四部分)。我们今天讨论的就是第二部分方程的意义,即“列”方程的内容。吴正宪等人主编的《小学数学教学基本概念解读》一书中认为,本节课的关键是“认识方程,让学生经历建立方程模型的过程”,可以看出关键词是经历、模型、过程,并进一步指出方程思想的首要方面是“能根据具体问题中的数量关系,列出方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。因此,在教学时,需要渗透“建模思想”。

同时,因为方程的教学内容是包含两个方面的,即“列方程”和“解方程”,在学生初次接触方程时,只是让学生感受的方程的简便性(两个核心价值),而不需要让其接触到解方程的繁杂部分。也就是说,在“方程的意义”教学时,只需要考虑方程模型的建立,而不需要考虑方程的求解。


那么怎样考虑模型的建立呢?

章勤琼章博士在论文“指向”建议方程模型“的”方程的意义”的教学一文中指出,需要引导学生做两个事情:

1.找相等关系

2.找相等的左右两边分别是什么

引导学生找相等关系,就是思考在天平里有没有相等关系?在哪里?学生容易说出天平的相等关系在左边和右边,那么先写下“左边=右边”。第二个问题是,我们知道了左边=右边,那么,左边是什么?右边又是什么呢?该怎么表示?容易看出,左边是1个瓶子加50克砝码,即x+50,右边是2个100克砝码,即2x100。方程自然就列出来了,是x+50=2x100。请注意,到这里就可以了。不要再问x是多少,这是解方程的事情,是后面要学的。更需要注意的是,在刚开始出示这幅图的时候,不要问学生瓶子是多少克。如果这样问了,到了这个阶段的学生,首先想到的一定是,一个瓶子是200克砝码减去50克砝码。这样一来,算术解法立刻就出来了,之后你再引导他们去列方程,一切都是徒劳了,因为学生觉得明明都已经算出结果了,为什么还要列方程这么麻烦?

当然,经历建立方程模型的过程不是一蹴而就的。所以,需要给学生各种各样不同的情境,有图像的,有文字的,有实物的,有现实的,蕴含各种不同的相等关系,让学生去找。比如下面这幅线段图,同样让学生首先思考,相等关系在哪里,这个时候就不是左边=右边了,而是上边=下边。然后还是上边是什么?下边是什么?该怎么表示?至于x是多少,不要管它。



 

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