缤纷彩带Strata——构造算法

以前写的老文，觉得有意思就放上来了。。

关于这个游戏的介绍和成就参见度娘：缤纷彩带
感觉是一个很高大上的游戏，抱着这样的心态去玩了几关。最开始有点摸不着头脑，几乎是胡乱试把答案试出来。然后多玩了几关之后，MS发现了一些规律。
先说一下游戏规则，给你一个N*N的矩阵（游戏里N最大为6）。每个格子里有一种颜色，总共有M种颜色。同时给你这M种不同颜色的彩带，你每次需要选择一种颜色的彩带，放在矩阵的某一行或者某一列，最终把每行每列都放满彩带（也就是放2*N条彩带）。由于每行每列都有一条彩带，那么每个格子上都会有两条彩带穿过，游戏所要求的，就是让每个格子中的颜色和这两根彩带中，靠上方的那个彩带颜色相同。我们来看一个很简单例子：

上图是一个2*2的谜题，解决方法就是现在1号位置放一条绿色彩带，然后在3号位置放一条绿色彩带，然后在4号位置放一条橙色彩带，最后在2号位置放一条红色彩带即可。放好之后的效果：

刚刚玩完2*2的时候，很多人都会觉得，这个到了后面随着组合越来越多，难度肯定会成指数级上涨。例如下图是一个5*5的谜题。。。

事实上我刚玩完2*2的时候就觉得3*3很难了。但是有了这个算法也就是小菜一碟了：

好了，接下来是重头戏，我们来看看这个游戏的正确打开方式：我们先提取游戏的几个关键性质：
性质1：每个格子 只会被2根彩带覆盖；
性质2：要求格子中的颜色和较上方的彩带颜色相同 ；
性质3：较下方的彩带颜色和格子的颜色没有任何关系；
性质4：有的格子没有颜色限制，我们认为这个格子可以是任意一种颜色；
由此我们推出2个关键定理：
定理1：第一条彩带的颜色没有任何限制。证明：由于第一条彩带放上去后，所有的彩带均在它上面。根据性质3，它的颜色不会影响解谜。
定理2：最后放置的一条彩带所放的那一行（列），必定均为同一种颜色。证明 ：由于最后放置的那条彩带在所有彩带的上方。
根据性质2，它所在的那一行（列）的颜色都应该和这条彩带的颜色相同，因此这一排（列）的所有格子颜色都相同。其实这两个定理是很显然的，但是之后的推理还是证明了一下，觉得白痴的可以无视~好了，聪明的同学可能已经发现了解决这个谜题的方法了。根据定理2，可以得出最后一步该选什么颜色，以及放在什么位置。并且根据性质3，最后那一条彩带所在的那一行，其下方放哪些彩带是完全无关的，因此在剩下的问题中，那一整行我们实际上都可以忽略掉。将整个问题，转化为一个n*(n-1)的矩阵的谜题。之后的事情就是反复利用定理2，每次找颜色全部相同的一行（列），把它当作最后一步，然后忽略掉那一行（列），把问题规模继续缩小。直到最后矩阵会变成0*0的，那么整个谜题也就解决了。只不过我们在实际玩的时候和前面的思考过程的顺序是相反的，因为我每次都是找的最后一步，所以实际操作的顺序和思考顺序是相反的。
特别的，按照前面的步骤，还有一些位置可能还没有放置任何彩带。根据定理1，这些位置上的彩带颜色没有任何限制，可以随便选取颜色放置。接下来我们根据之前的推导，来解决上面发的那个5*5的矩阵谜题：

首先为了方便说明，给颜色和每一个放彩带的位置都编号显然，2号位置全都是第1种颜色。接下来把这一行无视掉，在剩下的4*5的矩阵中

8号位置全都是第3种颜色，10号位置全都是第2种颜色。它们的先后顺序没有影响。之后的过程完全类似，这里就不再演示，根据之前的推导过程我们一次得出每个子问题的“最后一步”是：
第1种颜色放在第2个位置
第3种颜色放在第8个位置
第2种颜色放在第10个位置
第3种颜色放在第1个位置
第4种颜色放在第9个位置
第2种颜色放在第3个位置
第1种颜色放在第5个位置
第3种颜色放在第6个位置
第2种颜色放在第4个位置

其中还有7号位置没有放置任何彩带，根据定理1，这一行可以放置任意颜色的彩带，我们就默认放第一种颜色。整个谜题的操作步骤，就是将上述分析步骤全部倒过来进行，即：
第1种颜色放在第7个位置
第2种颜色放在第4个位置
第3种颜色放在第6个位置
第1种颜色放在第5个位置
第2种颜色放在第3个位置
第4种颜色放在第9个位置
第3种颜色放在第1个位置
第2种颜色放在第10个位置
第3种颜色放在第8个位置
第1种颜色放在第2个位置
至此，这个游戏也算是完全破解了，思考难度降为0。游戏的难点，变成了记忆每一个步骤，然后全部倒过来操作。已经不再是介绍中所说的“考验大脑极限”，而是单纯的“考验记忆力极限”了（笑）。