原创九：平方根

记北师版八上数学教材第二张第二节《平方根》

课本上关于本课设置了两个课时内容，第一课时为“算术平方根”，第二课时为“平方根”。实际教学中用了三个课时，前两课时依照课本授课，第三课时为习题课，作拓展提高。

第一课时

思考1：

教材从内容的连贯性（承接第一章勾股定理、前一课夹逼法中正方形面积与边长关系“”）和学生理解的难易程度（算术平方根易，平方根难）出发，安排第一课时学习算术平方根，第二课时平方根。但在实际教学中，要求一个数的算术平方根或平方根，学生的第一反应往往都是“谁的平方等于这个数”。例如“求 144的平方根”，学生常常张口就是12，再仔细一想，“哦，是±12”。出现这样的问题，主要原因是学生对平方根和算术平方根的概念区别不清，对二者的关系分辨不明。

为此，在第一课时引入时，笔者设计了以下引入

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引例1意图： 

引导学生区别两道小题的不同。说明在涉及图形边长问题时，边长＞0是重要的隐含条件。已知a²=4，满足条件的a有两个，为±2。已知正方形面积等于4，则边长等于2，只有一个答案。这两道题既有相同点，也有不同之处。2为±2其中之一。此处暗中渗透算术平方根与平方根区别、联系。

引例2意图： 承接引例1.连续构造直角三角形。由勾股定理得x²=2,y²=3,z²=4,w²=4，这里x、y、z、w为正数，我们把平方为2的那个正数记作√2，同理得√3, √4=2，√5. 把√2，√3,  2，√5分别就叫做2, 3,4,5的算数平方根。

思考2：

课本上关于“算术平方根”的定义如下：

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教材编排从图形的边长出发，而边长大于0，因此特别规定了√0=0. 事实上0²=0,0=√0,完全符合定义。算术平方根不止和图形边长有关，更是一个重要的代数概念。从代数的角度看，算术平方根可以按如下方式定义：

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思考3：

“算术平方根”这一课时的教学目标为：掌握算术平方根的定义，会求一个数的算术平方根以及理解算术平方根的双重非负性。

因此例题设置如下：

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实际课堂板书：

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第二课时：

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反思：

关于例1：本题书写过程与前一课求算术平方根类似。应强调等号两边符号的一致性。当要求算术平方根时，“=”两边默认都是正号；当要求平方根时，“=”两边都是“±”，切不可一边有“±”而一边没有。

关于例2:  对于形如ax²+b=c这样的一元二次方程，可仿照一元一次方程的解题步骤——移项、合并同类项、系数化为1。在“系数化为1”时，由于方程当中没有对x的正负做特殊限定，故x为“一个数”（非“一个正数”），符合平方根定义，所以最后一步实为求一个数的平方根（即今后要学习的用直接开方法求1元2次方程的解）

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第三课时：

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意图：感受数学中语句叙述顺序颠倒造成的不同结果。为例1做好铺垫。

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关于例1：M有平方根，有学生想到M≥0，要分类讨论。这种思维的严谨性值得肯定！但是再仔细思考：当M=0时，两平方根为0和0，而0+0=0，这是符合“M>0时，两平方根互为相反数”（两个数相加和为零）的，因此不用分类讨论。

紧接着有一道变式训练：

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绝大部分学生看到题目后的反应是比较迷茫的，因为题目和例1十分相像，好像没什么区别。这时可以先引导学生完成下列填空。

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上题共有4种填法，而这四种方法又可以分为两类——互为相反数和两数相等。例1变式也可仿照这样分类。

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例2.

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由计算结果引导学生归纳公式。

其中（√a）²=a，学生可以用正方形的边长与面积关系解释，也可以用开平方与平方为互逆运算解释。这时教师提出问题：√a²=|a|中，为什么√a²的平方与开平方没有相互抵消等于a？

这个问题对于学生而言是比较困难的。教师可以点拨：因为两个式子中a的取值范围不同。

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最外层的运算无论是算术平方根还是平方，都要求结果非负。√a²中，a为任意数，因此如果要加绝对值才能保证“非负”。而（√a）²中a作为被开方数非负，因此结果是a本身。

学以致用：

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课堂板书：

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