数据结构——散列函数、散列表

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前言

1. 散列表的基本概念
2. 散列函数的构造方法
3. 处理冲突的方法
4. 散列查找及性能分析

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、散列表的基本概念

1. 概念：之前的算法建立在“比较”基础上，效率取决于比较次数
   散列函数：将关键字映射成该关键字对应地址的函数，记为Hash(key)=Addr，散列函数会把两个不同的关键字映射到同一地址，称为“冲突”，发生碰撞的不同关键字称为同义词；应尽量减少冲突，设计好的处理冲突的方法
2. 哈希表:一个有限的连续的地址空间，用以容纳按哈希地址存储的记录。
3. 哈希函数:记录的存储位置与它的关键字之间存在的一种对应关系。 Loc(ri)=H(keyi)。
4. 同义词：在同一地址出现冲突的各关键字。
5. 哈希(散列)地址：根据设定的哈希函数H(key)和处理冲突的方法确定的记录的存储位置。
6. 装填因子：表中填入的记录数n和哈希表表长 m之比。
7. α=n/m

二、散列函数的构造方法

1. 函数定义域必须包括全部需要存储的关键字
2. 散列函数计算出的地址能够等概率、均匀分布在整个地址空间，减少冲突
3. 散列函数尽量简单，较短时间内能计算出任意关键字的地址

1. 直接定址法：散列函数为 ；不会产生冲突，适合关键字分布基本连续的情况，若分布不连续，则空位较多，造成空间浪费
2. 除留余数法：假定表长为m，取一个不大于m但最接近或等于m的质数p，散列函数为H(key)=key%p（需要选取好p）
3. 开放定址法 (空缺编址法)
   Hi = ( H(key)+ di ) MOD m
   i=1,2, …, k (km-1)
   m:哈希表的表长； di:增量序列
   1)线性探测再散列 di= 1,2, …, m-1
   缺陷：有聚集(堆积)现象—非同义词地址冲突。
   2)二次探测再散列
   di= 12, -12, 22, -22, 32,…,k2 k  m/2
   缺陷：不易探查到整个散列空间。
   3)伪随机探测再散列 di = 伪随机数序列
   链地址法
   为每个哈希地址建立一个单链表，存储所有具有同义词的记录。
   冲突处理简单，无堆积现象，平均查找长度较短；
   较适合于事先无法确定表长的情况；
   可取α≥1，当结点信息规模较大时，节省空间
   删除结点的操作易于实现
   [设计哈希表的过程]
   1)明确哈希表的地址空间范围。即确定哈希函数的值域。
   2)选择合理的哈希函数。该函数要保证所有可能的记录的哈希地址均在指定的值域内，并使冲突的可能性尽量小。
   3)设定处理冲突的方法。

三、处理冲突的方法

为产生冲突的关键字寻找下一个“空”的Hash地址，用Hi表示冲突后第i次探索的散列地址

1. 开放定址法：

，m表示表长，di表示增量
（1）线性探索法：di=1开始，每次递增1，向后查找空位，直到找到一个空位或查遍全表；缺点：可能使第i个散列地址同义词存在第i+1个，造成大量相邻的散列地址聚集，大大降低了查找效率
（2）平方探测法：
，k<=m/2 ，m=4k+3，又称二次探测法；可以避免堆积问题，缺点是不能探测到表的全部单元，但至少可以探测到一半
（3）再散列法：使用两个散列函数进行散列
注意：不能随便删除表中元素，因为若删除元素将会截断其他具有相同散列地址的元素的查找地址，所以要想删除一个元素，给它做一个标记，进行逻辑删除，但副作用是表面上看起来散列表很满，实际上有许多位置没有利用

2. 拉链法

（1）为避免非同义词发生冲突，可以把所有同义词存储在一个线性链表中，这个线性链表由散列地址唯一标识，拉链法适用于经常进行插入和删除的情况

四、散列查找及性能分析

1.散列查找
（1）初始化：根据散列函数计算出散列地址，addr=Hash(key)
（2）检测表中addr位置上是否有记录，没有记录则失败；若有记录比较它与key值，若相等返回成功标志，不然执行下面（3）
（3）用给定的处理冲突的方法计算“下一散列地址”，并把addr置为此地址，转入（2）

2.散列查找效率：取决于散列函数、处理冲突方法和装填因子
3.装填因子：
平均查找长度依赖于装填因子； 越大，装填记录越满，冲突可能性越大，散列表查找成功与 有关，与表长无关
例题：
例1:已知一组关键字为（26，36，41，38，44，15，68，12，06，51，25），用线性探查法解决冲突构造这组关键字的哈希表。表长取15，哈希函数H(key)=key MOD 13。并求出等概率情况下查找成功的平均查找长度ASL.

例2：已知一组关键字(19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79)，哈希函数为：H(key)=key MOD 13, 哈希表长为m=16，设每个记录的查找概率相等

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总结

1. 散列表的基本概念
2. 散列函数的构造方法
3. 处理冲突的方法
4. 散列查找及性能分析